onthicaptoc.com
CHUYÊN ĐỀ: SỐ CHÍNH PHƯƠNG, SỐ NGUYÊN TỐ VÀ CHIA HẾT
Bài 1: Chứng minh rằng nếu: và , Đều là các số chính phương thì n chia hết cho 40
HƯỚNG DẪN:
Do là số chỉnh phương lẻ nên chia cho 8 dư 1, suy ra n là số chẵn
Do là số chính phương lẻ nên chia cho 8 dư 1, suy ra (1)
Do và đều là số chính phương lẻ nên có tận cùng là 1; 5; 9,
do đó khi chia cho 5 thì có dư là 1; 0; 4
Mà , Do đó và khi chia cho 5 đều dư 1
=> và (2)
Từ (1) và (2) =>
Bài 2: Tìm số tự nhiên có 9 chữ số: trong đó và và đồng thời A viết được dưới dạng với là bốn số nguyên tố.
HƯỚNG DẪN:
Ta có:


Như vậy phải là bình phương của 1 số nguyên tố p khác 7, 11, 13
Do
=>
Vậy hoặc
Bài 3: Cho số ( 2005 chữ số 1 và 2006 chữ số 2), Chứng minh rằng A là số chính phương
HƯỚNG DẪN:
Ta có:
, là số chính phương
Bài 4: Chứng minh rằng số có n số 4 và n-1 số 8, viết được dưới dạng bình phương của 1 số tự nhiên
HƯỚNG DẪN:
Đặt
Ta có:

Bài 5: Chứng minh rằng nếu tổng của hai số nguyên chia hết cho 3, thì tổng các lập phương của chúng chia hết cho 3
HƯỚNG DẪN :
Gọi hai số phải tìm là a và b, ta có :
Ta có :
Vì , Do vậy
Bài 6: Chứng minh rằng tổng các lũy thừa bậc 3 của ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 9
HƯỚNG DẪN:
Gọi ba số tự nhiên liên tiếp là:
Ta có:
Bài 7: Chứng minh rằng: , không phải là số chính phương
HƯỚNG DẪN:
Ta có:
Vì không phải là số chính phương nên A không thể là số chính phương
Bài 8: Chứng minh rằng: chia hết cho 100
HƯỚNG DẪN:
Ta có:
Vì , có chữ số tận cùng là 0 nên chia hết cho 10
Vậy chia hết cho 100
Bài 9: Cho các số nguyên a, b, c thỏa mãn :
Chứng minh rằng: là số chính phương
HƯỚNG DẪN:
Ta có:

Tương tự : và
Khi đó : ,
Vì a, b, c là các số nguyên nên là số chính phương
Bài 10: Chứng minh rằng:
HƯỚNG DẪN:
Ta có:
Vì (đpcm)
Bài 11 : Chứng minh rằng: chia hết cho 24 với mọi số nguyên n
HƯỚNG DẪN:

Vì là tích của 4 số nguyên liên tiếp nên trong đó phải có 1 số chia hết cho 2, và 1 số chia hết cho 4, và 1 số chia hết cho 3
Bài 12: Cho a, b, c là các số hữu tỉ khác 0 thỏa mãn: , Chứng minh rằng là bình phương của 1 số hữu tỉ
HƯỚNG DẪN:
Ta có:
Bài 13: Cho a, b là bình phương của hai số nguyên lẻ liên tiếp, Chứng minh rằng
HƯỚNG DẪN:
Ta có: , Vì a, b là bình phương của hai số nguyên lẻ liên tiếp nên :

Khi đó:

Vì và , mà
Nên
Bài 14: Tìm tất cả các số chính phương gồm 4 chữ số biết rằng khi ta thêm 1 đơn vị vào chữ số hàng nghìn, thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm 5 đơn vị vào chữ số hàng chục, thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng đơn vị ta vẫn được 1 số chính phương
HƯỚNG DẪN:
Gọi là số phải tìm, a, b, c, d
Với , ta có :

Do đó :
Nên hoặc : hoặc 
Vậy
Bài 15: Tìm các số tự nhiên n để là số nguyên tố
HƯỚNG DẪN:
Ta có:

Để là số nguyên tố thì
Thử lại với là số nguyên tố
onthicaptoc.com

onthicaptoc.com 11 Chuyen de boi duong HSG toan 8 So hoc tong hop