TS. Nguy¹n V«n Lñi (chõ bi¶n)-Ths. Ho ng V«n Tüu
108 B€I TON CHÅN LÅC LÎP 7
Draft
1
æi líi vîi c¡c b¤n åc
T i li»u n y ÷ñc bi¶n so¤n bao gçm nhúng b i to¡n ÷ñc s÷u t¦m v  lüa chån tø
nhúng t i li»u, gi¡o tr¼nh câ uy t½n, ÷ñc nhi·u ng÷íi ÷a th½ch. Bao gçm c¡c b i to¡n chõ
y¸u d nh cho nhúng håc sinh kh¡, giäi.
Vîi ph÷ìng ch¥m, håc vøa õ nh÷ng méi ng y méi ti¸n bë. çng thíi, nh¬m gióp
quþ phö huynh, quþ th¦y, cæ v  c¡c em håc sinh câ t i li»u tèt º tham kh£o. Trong t i
li»u n y, chóng tæi tr½ch líi gi£i mët sè b i to¡n hay º måi ng÷íi còng tham kh£o.
Vi»c bi¶n so¤n r§t câ thº câ nhúng sai sât khæng ¡ng câ, chóng tæi mong nhªn ÷ñc
þ ki¸n gâp þ cõa quþ và. Xin ch¥n th nh c¡m ìn!
2
Möc löc
1 SÈ HÅC V€ „I SÈ 4
1.1 T¿ l» thùc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.1 B i to¡n câ nëi dung t½nh to¡n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.2 B i to¡n câ nëi dung chùng minh. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 H m sè v  ç thà. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.1 T¿ l» thuªn v  t¿ l» nghàch. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.2 H m sè v  ç thà cõa h m sè. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 Biºu thùc ¤i sè. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2 HœNH HÅC 10
2.1 Quan h» vuæng gâc v  quan h» song song. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2 C¡c tr÷íng hñp b¬ng nhau cõa hai tam gi¡c. . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.3 C¡c b i to¡n düng h¼nh cì b£n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.4 Quan h» giúa c¡c y¸u tè trong tam gi¡c. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.5 Quan h» c¡c ÷íng th¯ng çng quy trong tam gi¡c. . . . . . . . . . . . . . 15
2.5.1 Ba ÷íng trung tuy¸n cõa tam gi¡c. . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.5.2 Ba ÷íng ph¥n gi¡c cõa tam gi¡c. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.5.3 Ba ÷íng trung trüc cõa tam gi¡c. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.5.4 Ba ÷íng cao cõa tam gi¡c. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.6 C¡c b i to¡n câ nëi dung t½nh gâc. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3 LÍI GIƒI MËT V€I B€I CHÅN LÅC 18
3
Ch֓ng 1
SÈ HÅC V€ „I SÈ
1.1 T¿ l» thùc
1.1.1 B i to¡n câ nëi dung t½nh to¡n.
B i 1.1.1 T¼m x trong c¡c t¿ l» thùc sau:
x 3 5 7 x + 1
a) = : b) = :
x + 5 7 x 1 9
x + 4 5 x 1 x 2
c) = : d) = :
20 x + 4 x + 2 x + 3
B i 1.1.2 T¼m x;y;z bi¸t :
x y z
a. = = v  x 3y + 4z = 62:
4 3 9
x 9 y 7
b. = ; = v  xy +z =15:
y 7 z 3
x 7 y 5
c. = ; = v  2x + 5y 2z = 100:
y 20 z 8
12x 15y 20z 12x 15y 20z
d. = = v  x +y +z = 48:
7 9 11
B i 1.1.3 T¼m x;y;z bi¸t :
a. 5x = 8y = 20z v  xyz = 3:
6 9 18
b. x = y = z v x +y +z =120:
11 2 5
x y z
c. = = v  xyz = 20:
12 9 5
4
Sigma - MATHS
x y z
2 2 2
d. = = v  x +y z = 65:
5 7 3
x + 2y 3z
B i 1.1.4 Cho biºu thùc P = . T½nh gi¡ trà cõa P bi¸t c¡c sè x; y; z t¿ l»
x 2y + 3z
vîi c¡c sè 5, 4, 3.
2
B i 1.1.5 Mët khu v÷ín h¼nh chú nhªt câ di»n t½ch l  300m , hai c¤nh t¿ l» vîi 4 v  3.
T½nh chi·u d i v  chi·u rëng cõa khu v÷ín.
3
B i 1.1.6 T¼m hai ph¥n sè tèi gi£n bi¸t hi»u cõa chóng l  , c¡c tû t¿ l» vîi 3 v  5;
196
c¡c m¨u t¿ l» vîi 4 v  7.
1 1
B i 1.1.7 Ba kho câ t§t c£ 710 t§n thâc. Sau khi chuyºn i sè thâc ð kho I, sè thâc
5 6
1
ð kho II v  sè thâc ð kho III th¼ sè cán l¤i ð ba kho b¬ng nhau. Häi lóc ¦u méi kho
11
câ bao nhi¶u t§n thâc?
B i 1.1.8 Cho d¢y t¿ sè b¬ng nhau (Gi£ thi¸t r¬ng M câ ngh¾a):
2a +b +c +d a + 2b +c +d a +b + 2c +d a +b +c + 2d
= = = .
a b c d
a +b b +c c +d d +a
T¼m gi¡ trà cõa biºu thùc M; bi¸t M = + + + :
c +d d +a a +b b +c
1.1.2 B i to¡n câ nëi dung chùng minh.
a + 5 b + 6 a 5
B i 1.1.9 Cho = (a6= 5;b6= 6). Chùng minh = :
a 5 b 6 b 6
a c ab cd
B i 1.1.10 Chot¿l»thùc =6= 1vîia; b; c; d6= 0:Chùngminhr¬ng: = :
b d a c
2
a x b y a x
B i 1.1.11 Cho = ; = : Chùng minh r¬ng: = :
2
k a k b b y
bd a c
B i 1.1.12 Cho a =b +c v  c = ;b6= 0;d6= 0. Chùng minh r¬ng: = :
bd b d
a c 3 5a + 3b 5a 3b
B i 1.1.13 Cho = (c6= d): Chùng minh r¬ng: = :
b d 5 5c + 3d 5c 3d
a c
B i 1.1.14 Cho =6= v  c6= 0. Chùng minh r¬ng:
b d
 
2
ab ab
a. = :
cd cd
 
3
3 3
a +b a b
b. = :
3 3
c +d c d
5
Sigma - MATHS
2 2
a b a +b ab
B i 1.1.15 Chùng minh r¬ng = th¼ = .
2 2
c d c +d cd
2 2
a +b a
2
B i 1.1.16 Cho b =ac: Chùng minh r¬ng = :
2 2
b +c c
2 2 3 3 3
B i 1.1.17 Cho b =ac;c =bd; vîi b; c; d6= 0; b +c6=d; b +c6=d :
 
3
3 3 3
a +b c a +bc
Chùng minh r¬ng: = :
3 3 3
b +c d b +cd
B i 1.1.18 Cho c¡c sèA;B;C t¿ l» vîi c¡c sè a; b; c. Chùng minh r¬ng gi¡ trà cõa biºu
Ax +By +Cz
thùc Q = khæng phö thuëc v o gi¡ trà cõa x v  y.
ax +by +cz
ax +by
B i 1.1.19 Cho biºu thùc M = vîi c; d6= 0. Chùng minh r¬ng n¸u gi¡ trà cõa
cx +dy
biºu thùc M khæng phö thuëc v o x v  y th¼ bèn sè a; b; c; d lªp th nh mët t¿ l» thùc.
2 2
a +b ab a c
B i 1.1.20 Cho = vîi a; b; c; d6= 0; c6=d: Chùng minh r¬ng ho°c =
2 2
c +d cd b d
a b
ho°c = :
d c
1.2 H m sè v  ç thà.
1.2.1 T¿ l» thuªn v  t¿ l» nghàch.
B i 1.2.1 Vi¸t cæng thùc biºu thà sü phö thuëc giúa:
a Chu vi C cõa h¼nh vuæng c¤nh x.
b Chu vi C cõa ÷íng trán b¡n k½nh R:
c Di»n t½ch S cõa h¼nh chú nhªt câ mët c¤nh l  5(cm) v  c¤nh cán l¤i l  x(cm).
d Di»n t½ch S cõa h¼nh tam gi¡c câ c¤nh ¡y l  4(cm) v  chi·u cao l  h(cm).
2
e Chi·u d i cõa mët h¼nh chú nhªt câ di»n t½ch l  12(cm ) v  mët c¤nh câ ë d i l
x(cm).
2
f ÷íng cao cõa mët h¼nh tam gi¡c câ di»n t½ch l  10(cm ) v  c¤nh ¡y câ ë d i l
x(cm).
B i 1.2.2 Mët cæng nh¥n ti»n 30 inh èc c¦n 45 phót. Häi trong 1h45 phót, ng÷íi â
ti»n ÷ñc bao nhi¶u inh èc.
B i 1.2.3 Mët con ngüa «n h¸t mët xe cä trong 4 ng y. Mët con d¶ «n h¸t mët xe cä
trong 6 ng y. Mët con cøu «n h¸t mët xe cä trong 12 ng y. Häi c£ ba con «n h¸t mët xe
cä trong bao l¥u.
6
Sigma - MATHS
B i 1.2.4 Vªn tèc ri¶ng cõa ca næ l  21 km/h, vªn tèc dáng sæng l  3 km/h. Häi vîi thíi
gian ca næ ch¤y ng÷ñc dáng ÷ñc 30 km/h th¼ ca næ ch¤y xuæi dáng ÷ñc bao nhi¶u km?
B i 1.2.5 Hai b  buæn g¤o h¸t còng mët sè ti·n. B  thù nh§t mua lo¤i 4000 çng/kg,
b  thù hai mua lo¤i 4800 çng/kg. Bi¸t b  thù nh§t mua nhi·u hìn b  thù hai l  2kg.
Häi méi b  mua bao nhi¶u kilogam g¤o?
B i 1.2.6 Mët æ tæ dü ành ch¤y tø A ¸n B trong thíi gian nh§t ành. N¸u xe ch¤y vîi
vªn tèc 54 km/h th¼ ¸n nìi sîm hìn 1 gií. N¸u ch¤y vîi vªn tèc 63 km/h th¼ ¸n nìi
sîm hìn 2 gií. T½nh qu¢ng ÷íng AB v  thíi gian dü ành i.
B i 1.2.7 º l m xong mët cæng vi»c th¼ 21 cæng nh¥n c¦n l m trong 15 ng y. Do c£i
ti¸n cæng cö lao ëng n¶n n«ng xu§t lao ëng cõa méi ng÷íi t«ng th¶m 25%. Häi 18 cæng
nh¥n l m trong bao l¥u th¼ xong cæng vi»c §y.
1.2.2 H m sè v  ç thà cõa h m sè.
B i 1.2.8 Mët chi¸c t u ng¦m ch¤y vîi vªn tèc khæng êi l  37 km/h ð ë s¥u 100 m so
vîi müc n÷îc biºn.
a. Vi¸t h m sè f mæ t£ sü phö thuëc giúa qu¢ng ÷íng s (t½nh b¬ng km) v  thíi gian t
(t½nh b¬ng gií) m  t u ng¦m ¢ i.
b. Vi¸t h m sè g mæ t£ sü phö thuëc giúa ë s¥u h (t½nh b¬ng m) cõa t u ng¦m so vîi
müc n÷îc biºn v  thíi gian t (t½nh b¬ng gií). T½nh g(2);g(3; 5).
2
B i 1.2.9 Cho h m sè f(x) = 4x 5:
1
a. T½nh f(3);f( ):
2
b. T¼m x º f(x) =1:
c. Chùng tä r¬ng vîi x2R th¼ f(x) =f(x):
B i 1.2.10 Vi¸t cæng thùc cõa h m sè y =f(x) bi¸t r¬ng y t¿ l» thuªn vîi x theo h» sè
1
t¿ l» :
2
a. T½nh x º f(x) =5:
b. Chùng tä r¬ng n¸u x >x th¼ f(x )>f(x ):
1 2 1 2
B i 1.2.11 Vi¸t cæng thùc cõa h m sèy =f(x) bi¸t r¬ngy t¿ l» nghàch vîix theo h» sè
t¿ l» 12
a. T½nh x º f(x) = 4;f(x) = 0:
b. Chùng tä r¬ng f(x) =f(x).
1
B i 1.2.12 Cho h m sè y = x:
3
7
Sigma - MATHS
a. V³ ç thà h m sè.
b. Trong c¡c iºm M(3; 1);N(6; 2);P (9;3) iºm n o thuëc ç thà h m sè (khæng v³
l¶n ç thà).
B i 1.2.13 V³ gi¡ trà h m sè y = f(x) = 0:5x vîi2 x 6. V³ ç thà h m sè rçi
dòng ç thà º t¼m gi¡ trà lîn nh§t, gi¡ trà nhä nh§t cõa h m sè n y.
18
B i 1.2.14 Cho c¡c h m sè y = f(x) = 2x v  y = g(x) = : Khæng v³ ç thà cõa
x
chóng, h¢y t½nh tåa ë giao iºm cõa hai ç thà.
1.3 Biºu thùc ¤i sè.
B i 1.3.1 T½nh gi¡ trà cõa c¡c biºu thùc sau:
p
2
a. A = (x + 1)(x 2) t¤i x = 2:
2
2x + 3x 2
b. B = t¤ijxj = 3:
x + 2
1 1
2 3
c. C = 9x 7xjyj y t¤i x = ;y =6:
4 3
2 2
5x + 3y x y
d. D = vîi = :
2 2
10x 3y 3 5
z x y
e. E = (1 + )(1 + )(1 + ) vîi x;y;z6= 0;x +y +z = 0:
x y z
B i 1.3.2 Thu gån c¡c ìn thùc sau rçi x¡c ành h» sè, ph¦n bi¸n, v  bªc cõa ìn thùc
(a, b, c l  h¬ng sè).
 
3
3 2 4 3 5 2 2 3
a. A = (2a b x y) : b x y z :
10
 
5
1
3 4 2
b. (a 1)x y z :
2
5 2 2 n1 3 4 7n
c. (a b xy z )(b cx z ):
   
3
9 5
3 2 5 2
d. a x y : ax y z :
10 3
2 4 3 4 3 2 4 3
B i 1.3.3 Cho ba ìn thùc A = ab x y ;B = ax y ;C = b x y : Nhúng ìn thùc n o
çng d¤ng vîi nhau n¸u:
a. a;b l  h¬ng sè kh¡c 0, x;y l  bi¸n.
b. a l  h¬ng sè kh¡c 0, b;x;y l  bi¸n.
8

onthicaptoc.com 108 bài toán chọn lọc Toán 7