CHỦ ĐỀ 8. HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
I. QUAN HỆ SONG SONG TRONG KHÔNG GIAN
1.Giao tuyến của 2 mp: Đường thẳng chung của hai mặt phẳng và được gọi là giao tuyến của và , kí hiệu .
2. Thiết diện : Thiết diện của mặt phẳng ( α ) với hình chóp (H ) là phần chung giữa mặt phẳng (α ) và hình chóp (H ).
3. Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian
TH1: a và b đồng phẳng
* a cắt b Û aÇb = M.
* a // b Û aÇb = Æ.
* a º b Û aÇb = a.
TH2: không có mp nào chứa a và b, ta nói a và b chéo nhau.
a/ Hai đường thẳng song song: nếu chúng cùng nằm trên một mặt phẳng và không có điểm chung
*Chú ý:
Hai đường thẳng gọi là chéo nhau nếu chúng không đồng phẳng.
Cho hai đường thẳng song song a và b. Có duy nhất một mặt phẳng chứa hai đường thẳng đó, kí hiệu mp(a, b).
b/ Tính chất cơ bản về hai đường thẳng song song.
+ Nếu ba mp phân biệt đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy hoặc dồng qui hoặc đôi một song song với nhau.
+ Nếu hai mp phân biệt lần lượt chứa hai đt song song thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với hai đt đó hoặc trùng với một trong hai đt đó.
* + Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.
4. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng
Cho đường thẳng và mặt phẳng . Khi đó có thể xảy ra một trong ba trường hợp sau:
+TH 1: và có từ hai điểm chung phân biệt trở lên (Hình ), suy ra mọi điểm thuộc đều thuộc , ta nói nằm trong , ki hiệu .
+TH 2: và có một điểm chung duy nhất (Hình 2b), ta nói cắt tại , kí hiệu .
+Th3: và không có điểm chung nào (Hình ), ta nói song song với , kí hiệu .

a/ Đường thẳng song song mặt phẳng: // nếu chúng không có điểm chung.
b/ Điều kiện để một đường thẳng song song với 1 mặt phẳng
+Nếu đường thẳng không nằm trong mặt phẳng và song song với đường thẳng nằm trong thì song song với .

c/Tính chất cơ bản của đường thẳng và mặt phẳng song song
+ Cho đường thẳng song song với mặt phẳng . Nếu mặt phẳng đi qua và cắt theo giao tuyến thì
.
+ Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với đường thẳng đó.
5/ Vị trí tương đối giữ 2 mặt phẳng và có 3 vị trí tương đối
+TH1: và có ba điểm chung không thẳng hàng, ta nói hai mặt phẳng và trùng nhau, kí hiệu .
+TH 2: và phân biệt và có một điềm chung, ta nói và cắt nhau theo giao tuyến đi qua điểm chung, ki hiệu .
+TH 3: và không có bất kì điểm chung nào, nghĩa là , ta nói và song song với nhau, kí hiệu hoặc .

a/ Hai mặt phẳng song song: và được gọi là song song với nhau nếu chúng không có điểm chung.
+ Chú ý: (a) // (b), d Ì (a) Þ d // (b)
b/Điều kiện để hai mặt phẳng song song
+ Nếu mặt phẳng chứa hai đường thẳng cắt nhau a, b và a, b cùng song song với mặt phẳng thì song song với .
+Nếu mặt phẳng chứa hai đường thẳng cắt nhau a, b và a, b lần lượt song song với hai đường thẳng a’, b’ nằm trong mặt phẳng thì mặt phẳng song song với mặt phẳng .
+Lưu ý: Nếu hai mặt phẳng song song với nhau thì mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng này đều song song với mặt phẳng kia.
c/ Tính chất của hai mặt phẳng song song
+ Cho hai mặt phẳng và song song với nhau. Nếu cắt thì cắt và hai giao tuyến của chúng song song với nhau.
+Ba mặt phẳng đôi một song song chắn trên hai cát tuyến bất kì những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ
d/ Hình lăng trụ và hình hộp
6/Phép chiếu song song
Hình biểu diễn của một số hình không gian trên mặt phẳng:
+ Hình biểu diễn của một đường tròn thường là một elip.
+ Hình biểu diễn của một tam giác (vuông, cân, đều) là một tam giác.
+ Hình biểu diễn của hình vuông, hình chữ nhật, hình thoi, hình bình hành là hình bình hành.
II. QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN
1. Hai đường thẳng vuông góc
Hai đường thẳng và được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng , kí hiệu
2. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
a) Định nghĩa
Đường thẳng được gọi là vuông góc với mặt phẳng nếu đường thẳng vuông góc với mọi đường thẳng trong mặt phẳng (Hình 1), kí hiệu hoặc
b) Dấu hiệu nhận biết
Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau cùng thuộc một mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng ấy.
c) Tính chất
+ Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một đường thẳng cho trước.
+ Có duy nhất một đường thẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một mặt phẳng cho trước.
+ Cho hai đường thẳng song song. Một mặt phẳng vuông góc với đường thẳng này thì cũng vuông góc với đường thẳng kia.
+ Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau.
+ Cho hai mặt phẳng song song. Một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng này thì cũng vuông góc với mặt phẳng kia.
+ Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.
d) Định lí ba đường vuông góc
Cho đường thẳng không vuông góc với mặt phẳng và đường thẳng nằm trong mặt phẳng . Khi đó, vuông góc với khi và chỉ khi vuông góc với hình chiếu vuông góc của trên (Hình 2).
3. Hai mặt phẳng vuông góc
a) Định nghĩa
Hai mặt phẳng cắt nhau tạo nên bốn góc nhị diện. Nếu một trong các góc nhị diện đó là góc nhị diện vuông thì hai mặt phẳng gọi là vuông góc với nhau, kí hiệu .
b) Dấu hiệu nhận biết
Nếu mặt phẳng này chứa một đường thẳng mà đường thẳng đó vuông góc với mặt phẳng kia thì hai mặt phẳng đó vuông góc với nhau.
c) Tính chất
+ Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì bất cứ đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng này và vuông góc với giao tuyến cũng vuông góc với mặt phẳng kia.
+ Nếu hai mặt phẳng cắt nhau và cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng vuông góc với mặt phẳng thứ ba đó.
II. GÓC TRONG KHÔNG GIAN
1. Góc giữa hai đường thẳng trong không gian
Góc giữa hai đường thẳng và trong không gian là góc giữa hai đường thẳng và cùng đi qua một điểm và lần lượt song song (hoặc trùng) với và (Hình 3), kí hiệu hoặc
Nhận xét: Góc giữa hai đường thẳng trong không gian có số đo từ đến .
2. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Cho đường thẳng và mặt phẳng , ta có định nghĩa sau:
* Nếu đường thẳng vuông góc với mặt phẳng thì góc giữa và bằng .
* Nếu đường thẳng không vuông góc với mặt phẳng thì góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa và hình chiếu của đường thẳng trên (Hình ), kí hiệu .
Hình
Nhận xét: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng có số đo từ đến .
3. Góc nhị diện
* Góc nhị diện là hình gồm hai nửa mặt phẳng có chung bờ; kí hiệu hoặc , trong đó , là hai nửa mặt phẳng có chung bờ là đường thẳng và , là các điểm lần lượt thuộc hai nửa mặt phẳng , (Hình ). Đường thẳng gọi là cạnh của góc nhị diện, mỗi nửa mặt phẳng , gọi là một mặt của góc nhị diện.
Hình
* Cho góc nhị diện. Một góc của đỉnh thuộc cạnh của góc nhị diện, hai cạnh của góc đó lần lượt thuộc hai mặt nhị diện và cùng vuông góc với cạnh của góc nhị diện, được gọi là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện đã cho.
* Số đo của một góc phẳng nhị diện được gọi là số đo của góc nhị diện đó.
* Nếu số đo góc phẳng nhị diện bằng thì góc nhị diện đó gọi là góc nhị diện vuông.
Nhận xét: Góc nhị diện có số đo từ đến .
III. KHOẢNG CÁCH TRONG KHÔNG GIAN
1. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng là khoảng cách từ điểm đến hình chiếu vuông góc của trên , kí hiệu .
2. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng là khoảng cách từ điểm đến hình chiếu vuông góc của trên , kí hiệu .
3. Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song
Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song và là khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc đường thẳng này đến đường thẳng kia, kí hiệu .
4. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song
Cho đường thẳng song song với mặt phẳng . Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng là khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc đường thẳng đến mặt phẳng , kí hiệu
5. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song
Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song và là khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc mặt phẳng này đến mặt phẳng kia, kí hiệu .
6. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
Cho hai đường thẳng , chéo nhau.
* Có và chỉ có một đường thẳng vừa vuông góc, vừa cắt cả hai đường thẳng , gọi là đường vuông góc chung của hai đường thẳng đó.
* Đoạn thẳng có hai đầu mút là giao điểm của đường thẳng với hai đường thẳng , gọi là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đó.
* Độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng , gọi là khoảng cách giữa hai đường thẳng đó, kí hiệu .
Nhận xét
* Gọi là mặt phẳng chứa a và song song với , hình chiếu của trên là , giao điểm của và là , hình chiếu của trên là (Hình ). Khi đó là đoạn vuông góc chung của và . Ngoài ra, .
* Trong trường hợp đặc biệt , ta có thể xác định như sau: Gọi là mặt phẳng chứa và vuông góc với , giao điểm của và là , hình chiếu của trên là (Hình ). Khi đó, là đoạn vuông góc chung của và .
IV. Thể tích của một khối đa diện
* Công thức tính thể tích của khối lăng trụ: .
Trong đó , , lần lượt là thể tích, diện tích đáy, chiều cao của khối lăng trụ.
* Công thức tính thể tích của khối chóp: .
Trong đó , , lần lượt là thể tích, diện tích đáy, chiều cao của khối chóp.
* Công thức tính thể tích khối chóp cụt đều: .
* Trong đó , , , lần lượt là thể tích, chiều cao, diện tích hai đáy của khối chóp cụt đều.
B. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
DẠNG 1: TÌM GIAO TUYẾN CỦA HAI MẶT PHẲNG.
Để xác định giao tuyến của hai mặt phẳng, ta đi tìm hai điểm chung của chúng.
Đường thẳng đi qua hai điểm chung đó chính là giao tuyến
Chú ý: Điểm chung của hai mặt phẳng và thường được tìm như sau:
- Tìm hai đường thẳng a và b lần lượt thuộc mặt phẳng và cùng nằm trong một mặt phẳng .
- Giao điểm chính là điểm chung của mặt phẳng và
Câu 1: Cho tứ diện . Goi lần lượt là hai điểm trên hai cạnh và
sao cho không song song với .
Gọi là trung điểm của (Hình vẽ.
Tìm giao tuyến của các mặt phẳng và ; và .
Câu 2: Cho hình chóp , đáy có cắttại , cắt tại .
a) Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng và , và .
b) Tìm giao tuyến của với các mặt phẳng .
Câu 3: Cho hình chóp , có đáy là hình bình hành tâm . lần lượt là trung điểm của .Tìm giao tuyến của với các mặt phẳng ,, và .
Câu 4: Cho tứ diện . Gọi lần lượt là trung điểm của .
a) Tìm giao tuyến của 2 mặt phẳng .
b) là một điểm trên cạnh , là một điểm trên cạnh .Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng .
Câu 5: Cho tứ diện . là một điểm bên trong , là điểm bên trong của . Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng
a) và . b) và .
Câu 6: Cho hình chóp , có đáy laf hình thang có đáy lớn . Gọi là trung điểm của , là điểm nằm trên sao cho , .Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng:
a)và b) và c) và
DẠNG 2: TÌM GIAO ĐIỂM CỦA ĐƯỜNG THẲNG VỚI MẶT PHẲNG
Muốn tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng , có hai cách làm như sau:
Cách 1: Những bài đơn giản, có sẵn một mặt phẳng chứa đường thẳng và một đường thẳng thuộc mặt phẳng .
Giao điểm của hai đường thẳng không song song và chính là giao điểm của và mặt phẳng .
Cách 2: - Bước 1: Xác định mp chứa a.
- Bước 2: Tìm giao tuyến .
- Bước 3: Trong , mà , suy ra .
Câu 1: Cho hình chóp có đáy là hình bình hành. Gọi là trung điểm của .
a) Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng . Chứng minh .
b) Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng .
c) Gọi là một điểm tuỳ ý trên cạnh . Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng .
Câu 2: Cho hình chóp . là một điểm trên cạnh .
a) Tìm giao điểm của và
b) Gọi là một điểm trên cạnh . Tìm giao điểm của và .
Câu 3: Cho tứ diện . Gọi , lần lượt là trung điểm của và . là một điểm bên trong . Tìm giao điểm của:
a) và . b) và .
Câu 4: Cho hình chóp , đáy có và không song song với nhau. Lấy thuộc sao cho , thuộc và là trung điểm của .
a) Tìm giao tuyến của và b) Tìm giao điểm của và
c) Tìm giao điểm của và d) Tìm giao điểm của và
DẠNG 3: XÉT VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN
Câu 1: Cho hình chóp có đáy là hình bình hành (Hình 10). Hãy xét vị trí tương đối của mỗi cặp đường thẳng sau: và và .
Câu 2: Quan sát hình căn phòng (Hình 16), hãy cho biết vị trí tương đối của các cặp đường thẳng và và và .
DẠNG 4: CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG
Câu 1: Cho tứ diện . Gọi lần lượt là trọng tâm của các tam giác và . Chứng minh rằng hai đường thẳng và song song với nhau.
Câu 2: Cho hình chóp có đáy là hình thang với là đáy lớn và . Gọi lần lượt là trung điểm của các cạnh và . Chứng minh rằng đường thẳng song song với đường thẳng .
Câu 3: Cho tứ diện . Gọi lần lượt là trung điểm của các cạnh . Trên cạnh lấy điểm . Gọi là giao điểm của và là giao điểm của và . Chứng minh rằng đường thẳng song song với đường thẳng .
DẠNG 5: CHỨNG MINH ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG MẶT PHẲNG
Câu 1: Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong một mặt phẳng. Gọi O và O’ lần lượt là tâm của hai hình bình hành ABCD và ABEF.
a. Chứng minh OO’ song song với các mặt phẳng (ADF) và (BCE).
b. Gọi G và G’ lần lượt là trọng tâm các tam giác ABD và ABF. Chứng minh .
Câu 2: Cho tứ diện ABCD, G là trọng tâm tam giác ABD. M là điểm trên cạnh BC sao cho .
Chứng minh .
Câu 3: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC và BCD. Chứng minh rằng và .
Câu 4: Cho tứ diện ABCD. Gọi M là một điểm bất kì trên cạnh BC; là mặt phẳng qua M và song song với AB và CD, cắt các cạnh BD, AD, AC lần lượt tại N, P, Q. Chứng minh rằng MNPQ là hình bình hành.
Câu 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là ABCD là hình bình hành; F, G lần lượt là trung điểm của AB và CD.
a. Chứng minh rằng FG song song với các mặt phẳng (SAD) và (SBC).
b. Gọi E là trung điểm của SA. Chứng minh rằng SB, SC song song với mặt phẳng (FGE).
Câu 6: Cho hình chóp có đáy là hình bình hành. Lấy điểm trên cạnh sao cho . Gọi lần lượt là trọng tâm của tam giác .
a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng và .
b) Chứng minh rằng song song với mặt phẳng và song song với mặt phẳng .
Câu 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. là mặt phẳng đi qua trung điểm M của cạnh SB, song song với cạnh AB, cắt các cạnh SA, SD, SC lần lượt tại Q, P và N. Hãy xác định hình tính của tứ giác MNPQ?
Câu 8: Cho hình chóp có đáy là hình bình hành. Gọi lần lượt là trung điểm của các cạnh . Xác định giao tuyến của mỗi cặp mặt phẳng sau: và và .
Câu 9: Cho hình chóp có đáy là hình bình hành. Gọi lần lượt là trung điểm của các cạnh lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng .
a) Chứng minh rằng bốn điểm đồng phẳng và tứ giác là hình bình hành.
b) Chứng minh rằng .
c) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng và .
Câu 10: Cho hình chóp có đáy là hình bình hành. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng và .
Câu 11: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là một hình tứ giác lồi. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SC và CD. Gọi là mặt phẳng qua M, N và song song với đường thẳng AC.
a) Tìm giao tuyến của với .
b) Tìm giao điểm của đường thẳng SB với .
c) Tìm thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng.
Câu 12: Cho hình chóp S.ABC, gọi M, P và I lần lượt là trung điểm của AB, SC và SB. Một mặt phẳng qua MP và song song với AC và cắt các cạnh SA, BC tại N, Q.
Xác định thiết diện của và hình chóp. Thiết diện này là hình gì?
DẠNG 6: CHỨNG MINH HAI MẶT PHẲNG SONG SONG
Câu 1: Cho tứ diện . Lấy lần lượt là trọng tâm của các tam giác , .
a) Chứng minh rằng .
b) Xác định giao tuyến của mặt phẳng với mặt phẳng .
Câu 2 : Cho hai hình bình hành và không cùng nằm trong một mặt phẳng.
a) Chứng minh rằng .
b) Gọi là trọng tâm của tam giác . Gọi là mặt phẳng đi qua và song song với mặt phẳng . Lấy là giao điểm của và . Tính
Câu 3 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang ABCD, . Gọi E, F, I lần lượt là trung điểm của các cạnh SA, AD, SD.
a. Chứng minh . Từ đó chứng minh .
b. Tìm giao tuyến của (SBC) và (SAD). Tìm giao điểm K của FI với giao tuyến này, chứng minh .
Câu 4 : Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của SA và CD.
a. Chứng minh mặt phẳng (OMN) và mặt phẳng (SBC) song song với nhau.
b. Giả sử hai tam giác SAD và ABC đều là tam giác cân tại A. Gọi AE và AF lần lượt là các đường phân giác trong của các tam giác ACD và SAB. Chứng minh EF song song với mặt phẳng (SAD).
Câu 5 : Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có các cạnh AA’, BB’, CC’, DD’ song song với nhau.
a. Chứng minh hai mặt phẳng (BDA’) và (B’D’C) song song với nhau.
b. Chứng minh rằng đường chéo AC’ đi qua trọng tâm G và G’ lần lượt của hai tam giác BDA’ và B’D’C.
c. Chứng minh G và G’ chia đoạn AC’ thành ba phần bằng nhau.
Câu 6 : Cho hình hộp .
a) Chứng minh rằng .
b) Gọi lần lượt là giao điểm của với các mặt phẳng và . Chứng minh rằng lần lượt là trọng tâm của hai tam giác và .
c) Chứng minh rằng .
Câu 7 : Cho hình hộp . Gọi lần lượt là trung điểm của các cạnh . Chứng minh rằng:
a) và ; b) Tứ giác là hình bình hành;
c) ; d) .
Câu 8 : Cho hình lăng trụ tam giác . Gọi lần lượt là trung điểm của các cạnh và .
a) Chứng minh rằng .
b) Gọi là giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng . Chứng minh rằng là trung điểm đoạn thẳng .
Câu 9 : Một khối gỗ có các mặt đều là một phần của mặt phẳng với . Khối gỗ bị hỏng một góc (Hình 91). Bác thợ mộc muốn làm đẹp khối gỗ bằng cách cắt khối gỗ theo mặt phẳng đi qua và song song với mặt phẳng .
a) Hãy giúp bác thợ mộc xác định giao tuyến của mặt phẳng với các mặt của khối gỗ để cắt được chính xác.
b) Gọi lần lượt là giao điểm với mặt phẳng . Biết , . Tính .
Lời giải
a) Từ kẻ
Từ kẻ
Từ J kẻ JP // AB
Từ kẻ
Từ đó ta được trùng với đi qua và song song với
b) Ta có:
Suy ra:
Do đó: Mà
Suy ra: Mà
Suy ra:
Nên . Do đó: FJ .
DẠNG 7: CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG PHẲNG VUÔNG GÓC, ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC MẶT PHẲNG, HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC.
Câu 1: Cho tứ diện có . Gọi lần lượt là trung điểm của . Chứng minh
Lời giải
Ta có .
lần lượt là trung điểm của nên là đường trung bình của tam giác .
Do đó . Vậy .
Câu 2: Cho hình hộp có 6 mặt đều là hình vuông. Chứng minh rằng .
Lời giải
+Ta có , suy ra . Vậy .
+Ta có , suy ra (hai đường chéo của hình vuông luôn vuông góc với nhau). Vậy .
Câu 3: Cho hình chóp có là hình vuông tâm và . Gọi lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm trên các cạnh Chứng minh: a) ; b)
Lời giải
a) .
Ta có nên
Do đó
b)
Do .
Do .
Từ
Câu 4: Cho tứ diện có và . Gọi là hình chiếu vuông góc của lên . Chứng minh :
Lời giải
Ta có
Câu 5: Cho hình chóp có tất cả các cạnh bên và cạnh đáy đều bằng nhau và là hình vuông tâm . Chứng minh
Lời giải
Vì là hình vuông tâm nên là trung điểm của và .
Tam giác có nên tam giác cân tại suy ra .
Tam giác có nên tam giác cân tại suy ra .
Vậy .
Câu 6: Cho hình chóp có đáy là hình vuông,
cạnh bên vuông góc với đáy.
Gọi lần lượt là hình chiếu của lên Chứng minh
Lời giải
Ta có Suy ra
Mà nên
Mặt khác nên
Suy ra
Câu 7:Cho hình chóp có tam giác vuông tại . Chứng minh
Lời giải
mà

Câu 8: Cho hình chóp có tam giác vuông cân tại A cạnh . Chứng minh
Lời giải
wTrong kẻ , I là trung điểm BC.
Ta có
Câu 9: Cho hình chóp có đáy là hình thoi, có vuông góc Gọi và lần lượt là hình chiếu vuông góc của lên cạnh và Chứng minh rằng
Lời giải
Xét vuông tại đường cao
Ta có
Xét vuông tại đường cao
Ta có
Mà
Từ và suy ra
Lại có (tính chất hình thoi)
mà
Suy ra mà nên
Câu 10: Cho tứ diện có , . Gọi và lần lượt là trung điểm của , và . Biết vuông góc với. Chứng minh rằng.
Câu 11 : Cho tứ diện có là tam giác vuông tại và
Gọi là đường cao của tam giác . Chứng minh:
Câu 12 : Cho hình chóp có đáy là hình thang vuông tại và Chứng minh rằng
Câu 13 : Trong mặt phẳng cho đều. Gọi là trung điểm của là một điểm thuộc đoạn thẳng Lấy điểm nằm ngoài sao cho là hình chiếu vuông góc của trên Chứng mình rằng
Câu 14 : Cho hình lập phương
a) Chứng minh b) Chứng minh
Câu 15 : Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại C, SAC là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng . Chứng minh rằng .
Câu 16 : Cho hình chóp S.ABCD có cạnh , các cạnh còn lại bằng b. Chứng minh và .
Câu 17 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với và . Gọi M là trung điểm của AD. Chứng minh .
Câu 18 : Cho hình chóp đều S.ABC, có đọ dài cạnh đáy bằng a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, SC. Tính diện tích tam giác AMN biết rằng .
Câu 19 : Cho hình hộp chữ nhật có Gọi M là trung điểm của . Xác định tỉ số để hai mặt phẳng và vuông góc với nhau.
Câu 20 : Cho tam giác đều cạnh . Gọi là điểm đối xứng của qua . Trên đường thẳng tại lấy điểm sao cho . Chứng minh .
DẠNG 8: XÁC ĐỊNH VÀ TÌM GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG PHẲNG, GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG, GIỮA HAI MẶT PHẲNG, GÓC NHỊ DIỆN.
Câu 1 : Cho hình hộp có 6 mặt đều là hình vuông và lần lượt là trung điểm các cạnh . Tính góc giữa các cặp đường thẳng:
a) và ;
b) và .
Lời giải
a) Ta có , suy ra (tam giác vuông cân tại ).
b) Ta có ,suy ra (tam giác có ba cạnh bằng nhau).
Câu 2 : Cho hình chóp có đáy là hình thoi cạnh , và .
Góc giữa hai đường thẳng và bằng?
Lời giải
hay vuông tại .
.
vuông tại .
Câu 3 : Cho hình chóp có . Đáy là hình vuông cạnh . Tính số đo góc giữa và .
Lời giải
Ta có , suy ra là hình chiếu vuông góc của trên .
Suy ra góc giữa và bằng góc giữa và .
Vì tam giác vuông tại nên là góc nhọn.
Có
Vậy góc giữa và bằng góc giữa và và bằng .
Câu 4 : Cho hình chóp có và , đáy là hình vuông cạnh bằng . Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng góc nào?
Lời giải
Ta có .
Hay là hình chiếu vuông góc của lên .
Vậy là góc giữa và .
Câu 5 : Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật có , vuông góc với mặt phẳng và . Gọi là góc giữa đường thẳng và mặt phẳng . Tìm .
Lời giải
Vì nên là hình chiếu của trên mặt phẳng . Do đó góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là .
Ta có .
Xét tam giác vuông có .
Câu 6: Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật có cạnh . Hai mặt bên và cùng vuông góc với mặt phẳng đáy , cạnh . Tính góc tạo bởi đường thẳng và mặt phẳng .
Lời giải
w Ta có :
là hình chiếu vuông góc của trên mặt phẳng .
là hình chiếu vuông góc của trên mặt phẳng .
góc giữa và mặt phẳng là góc .
w Ta có :
.
Câu 7 : Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông cân tại , . Tính số đo theo đơn vị độ của góc nhị diện .
Lời giải
Ta có: nên .
Suy ra góc phẳng nhị diện là góc .
Câu 8 : Cho hình chóp có đáy là hình vuông, hai đường thẳng và cắt nhau tại , , tam giác là tam giác đều. Gọi là trung điểm của cạnh . Tính số đo của góc nhị diện .
Lời giải
Vì nên suy ra . Suy ra số đo của góc nhị diện bằng số đo của góc .
Vì tứ giác là hình vuông nên , suy ra và .
Khi đó .
Vậy góc nhị diện có số đo bằng .
Câu 9 : Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông tại Cạnh bên vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi là trung điểm của Góc giữa hai mặt phẳng và là?
Lời giải
Ta có
Do đó
Câu 10 : Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh Cạnh bên vuông góc với mặt phẳng đáy và Góc giữa mặt phẳng và bằng ?
Lời giải
Dễ dàng xác định được
Do đó
Tam giác vuông cân nên
Câu 11 : Cho hình lăng trụ đứng có tất cả các cạnh bằng . Góc giữa đường thẳng và bằng ?
Câu 12 : Cho hình hộp có tất cả các cạnh bằng nhau . Góc giữa hai đường thẳng và bằng ?
Câu 13 : Cho hình hộp chữ nhật có và (tham khảo hình bên).
Câu 14 : Cho hình chóp có đáy là tam giác đều cạnh Cạnh bên vuông góc với mặt phẳng đáy và Tìm góc giữa hai mặt phẳng và
Câu 15 : Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật. Cạnh bên vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi lần lượt là hình chiếu của lên các đường thẳng Biết Góc giữa hai mặt phẳng và bằng bao nhiêu?
Câu 16 : Cho hình lăng trụ đứng có đáy là tam giác vuông cân tại và . Tính góc phẳng nhị diện ?
Câu 17: Bác Minh có một khối gỗ có kích thước như hình vẽ. Biết , , , là các hình chữ nhật, , là các hình thang vuông. Bác Minh muốn làm đẹp khối gỗ đó bằng cách cắt khối gỗ theo mặt phẳng đi qua và song song với mặt phẳng .
Khi đó, bác Minh cần đặt mép của khối gỗ tạo với lưỡi cắt của máy cắt một góc bao nhiêu độ?
( ĐS : 50)
Câu 18: Một khay đá viên gồm 6 ngăn nhỏ có dạng là các hình chóp cụt với miệng và đáy là hình vuông (xem hình, kích thước của miệng lớn hơn của đáy).
Ta đo được độ dài cạnh đáy nhỏ, cạnh đáy lớn lần lượt bằng 1 cm, 3 cm và chiều cao mặt bên bằng cm. Tính biết cosin góc giữa đường chéo của viên đá với cạnh đáy của viên đá có dạng .
Lời giải
Mỗi ngăn đá là một hình chóp cụt có hai đáy là hình vuông, các cạnh bên
bằng nhau. Các cạnh bên đồng quy tại . Góc giữa các đường chéo với các cạnh đáy bằng nhau nên ta xem đó là góc giữa và . Kẻ .
Ta có: cm, cm, .
Gọi lần lượt là hình chiếu của trên
nên cm.
Khi đó cm cm.
Trong có .
Câu 19: Một ô che nắng có viền khung hình lục giác đều song song với mặt bàn và có cạnh song song với cạnh bàn (Hình 5). Tính số đo góc hợp bởi đường thẳng lần lượt với các đường thẳng , và .
Lời giải
Vì nên góc giữa là góc giữa và bằng .
Vì nên góc giữa là góc giữa và bằng .
Vì nên góc giữa là góc giữa và bằng .
Câu 20: Một chiếc thang có dạng hình thang cân cao , hai chân thang cách nhau , hai ngọn thang cách nhau . Thang được dựa vào bờ tường như hình bên. Góc tạo giữa đường thẳng chân tường và cạnh cột thang là a0 (tính gần đúng theo đơn vị độ, làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).
ĐÁP ÁN: 89,1
Lời giải
Gọi là hai điểm tại hai vị trí chân thang và là hai điểm tại hai vị trí ngọn thang, EF là đường chân tường. Ta có nên .
Kẻ vuông góc với tại , khi đó
Tam giác vuông tại nên , suy ra .
Vậy góc tạo giữa đường thẳng chân tường và cạnh cột thang bằng khoảng .
Câu 21: Một cái lều có dạng hình lăng trụ có cạnh bên vuông góc với đáy (Hình 24). Cho biết .
a) Tính góc giữa hai đường thẳng và và .
b) Tính diện tích hình chiếu vuông góc của tam giác trên mặt phẳng .
Lời giải
a) Ta có:

Xét tam giác có:

Vậy .
b) Gọi là trung điểm của
Tam giác cân tại

là hình chiếu vuông góc của trên mặt phẳng
Có
Vậy là hình chiếu vuông góc của trên mặt phẳng
Ta có:
Câu 22: Kim tự tháp bằng kính tại bảo tàng Louvre ở Paris có dạng hình chóp tứ giác đều cới chiều cao là 21,6 và cạnh đáy dài 34. Tính độ dài cạnh bên của kim tự tháp.
Lời giải
Ta có:

Câu 23: Một máy nước nóng sử dụng năng lượng mặt trời (như hình dưới) có các ống hấp nhiệt chân không dài 1,8 (m) được đặt trên sân thượng của một toà nhà. Khi tia nắng mặt trời chiếu vuông góc với sân thượng, bóng nắng của các ống hấp nhiệt chân không trên mặt sân dài 1,2 (m). Các ống hấp nhiệt chân không đó tạo với mặt sân thượng một góc bằng bao nhiêu độ (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?
Câu 24: Trong hình 42, máy tính xách tay đang mở gợi nên hình ảnh của một góc nhị diện. Ta gọi số đo góc nhị diện đó là độ mở của màn hình máy tính. Tính độ mở của màn hình máy tính theo đơn vị độ, biết tam giác có độ dài các cạnh là và .
Lời giải
Gọi là đường thẳng chứa bản lề của máy tính.
Vậy là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện cần tính.
Xét có:

Vậy độ mở của màn hình máy tính bằng .
DẠNG 9: KHOẢNG CÁCH TỪ ĐIỂM TỚI ĐƯỜNG THẲNG, MẶT PHẲNG; KHOẢNG CÁCH GIỮA ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG MP, GIỮA 2 MP SONG SONG; GIỮA 2 ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU.
Câu 1: Cho hình chóp , và vuông góc với mặt phẳng . Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng bằng ?
Lời giải
Gọi là hình chiếu vuông góc của trên . Suy ra
Xét tam giác có
Câu 2: Cho hình chóp , đáy là hình vuông cạnh , và vuông góc với mặt phẳng . Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng bằng ?
Lời giải
Do là hình vuông cạnh nên . Do đó, tam giác vuông cân tại .
Gọi là hình chiếu vuông góc của trên . Mà tam giác vuông cân tại nên là trung điểm của và . Vậy .
Câu 3: Cho hình chóp tam giác có là hình chữ nhật, . Tìm khoảng cách từ D đến mặt phẳng (SAB)
Lời giải
w Ta có .
Câu 4: Cho hình chóp tam giác có là hình chữ nhật có .
Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng bằng
Lời giải
w

onthicaptoc.com 8. Chuyen de HINH HOC KHONG GIAN 11