onthicaptoc.com
BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN
A. TRỌNG TÂM KIẾN THỨC
1. Khái niệm bất phương trình bậc nhất một ẩn
1.1 Bất phương trình bậc nhất một ẩn
Bất phương trình dạng (hoặc ) trong đó là hai số đã cho, được gọi là bất phương trình bậc nhất một ẩn
1.2 Nghiệm của bất phương trình
ü Số là một nghiệm của bất phương trình nếu là khẳng định đúng
ü Giải một bất phương trình là tìm tất cả các nghiệm của bất phương trình đó
2. Cách giải bất phương trình bậc nhất một ẩn
ü Bất phương trình bậc nhất một ẩn được giải như sau:

+ Nếu thì
+ Nếu thì
! – Các bất phương trình được giải tương tự-
- Ta cũng có thể giải được các bất phương trình một ẩn đưa được về dạng ,
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Nhận biết bất phương trình bậc nhất, nghiệm của bất phương trình
*Ví dụ 1: Bất phương trình nào sau đây là bất phương trình bậc nhất một ẩn?
a) b) c) d)
e) f) g) h)
Lời giải:
ü Hai bất phương trình và không phải là bất phương trình bậc nhất một ẩn
ü Bất phương trình có dạng với và nên nó là bất phương trình bậc nhất một ẩn
ü Bất phương trình có dạng với và nên nó là bất phương trình bậc nhất một ẩn
ü Bất phương trình có dạng với và , nên nó là bất phương trình bậc nhất một ẩn
ü Bất phương trình có dạng với và , nên nó là bất phương trình bậc nhất một ẩn
ü Hai bất phương trình và không phải là bất phương trình bậc nhất một ẩn
* Ví dụ 2: Bất phương trình nào sau đây là bất phương trình bậc nhất một ẩn?
a) b) c) d)
e) f) g) h)
Lời giải:
ü a), b), d), e), f) là bất phương trình bậc nhất một ẩn
ü c), h) không là bất phương trình bậc nhất một ẩn vì là các đa thức bậc hai.
ü g) không là là bất phương trình bậc nhất một ẩn vì là một đa thức bậc ba.
*Ví dụ 3: Kiểm tra xem giá trị có phải là nghiệm của mỗi bất phương trình bậc nhất sau đây không?
a) b) c)
Lời giải:
a) Thay , ta có là khẳng định đúng .
Vậy là nghiệm của bất phương trình
b) Thay ,ta có là khẳng định đúng .
Vậy là nghiệm của bất phương trình
c) Thay , ta có là khẳng định không đúng
Vậy là nghiệm của bất phương trình
*Ví dụ 4: Trong hai giá trị và , giá trị nào là nghiệm của bất phương trình
Lời giải:
a) Thay vào bất phương trình, ta được là khẳng định đúng.
Vậy là một nghiệm của bất phương trình đã cho
b) Thay vào bất phương trình, ta được là khẳng định sai.
Vậy không là nghiệm của bất phương trình đã cho
*Ví dụ 5: Tìm một số là nghiệm và một số không phải là nghiệm của bất phương trình
Lời giải:
a) Lâý thay vào bất phương trình đã cho, ta thấy là khẳng định đúng.
Vậy là một nghiệm của bất phương trình đã cho
b) Lấy thay vào bất phương trình đã cho, ta thấy là khẳng định sai.
Vậy không phải là một nghiệm của bất phương trình đã cho
* Ví dụ 6: Nêu hai ví dụ về bất phương trình một ẩn
Lời giải:
Hai bất phương trình một ẩn là
a) b)
*Ví dụ 7: Trong các số , những số nào là nghiệm của bất phương trình
Lời giải:
Chỉ có và là nghiệm của phương trình đã cho
*Ví dụ 8: Kiểm tra xem có phải là nghiệm của bất phương trình không?
Lời giải:
Thay vào hai vế của bất phương trình đã cho, ta được:

Hay (bất đẳng thức đúng)
Vậy là một nghiệm của bất phương trình đã cho
Dạng 2: Giải bất phương trình bậc nhất một ẩn
*Ví dụ 9: Giải các bất phuương trình sau
a) b) c)
d) e) d)
Lời giải:
a) Ta có:
(Công cả hai vế của bất phương trình với )
(Nhân cả hai vế với số âm và đổi chiều bất đẳng thức)

Vậy nghiệm của bất phương trình là
b) Ta có:
(Cộng hai vế với )
(Nhân hai vế )

Vậy nghiệm của bất phương trình là
c) Ta có:
(Cộng hai vế với )
(Nhân hai vế với )

Vậy nghiệm của bất phương trình là
d) Ta có:
(Cộng hai vế với)
(Nhân hai vế với )

Vậy nghiệm của bất phương trình là
e) Ta có:
(Cộng hai vế với )
(Nhân hai vế với )

Vậy nghiệm của bất phương trình là
f) Ta có :
(Cộng hai vế với )
(Nhân hai vế với)

Vậy nghiệm của bất phương trình là
*Ví dụ 10: Giải các bất phương trình :
a) b) c) d)
e) f) g) h)
Lời giải:
a) Ta có:


Vậy nghiệm của bất phương trình là
c) Ta có



Vậy nghiệm của bất phương trình là
e) T a có:



Vậy nghiệm của bất phương trình là
g) Ta có:



Vậy nghiệm của bất phương trình là


b) Ta có:


Vậy nghiệm của bất phương trình là
d) ta có:


Vậy nghiệm của bất phương trình là
f) Ta có:



Vậy nghiệm của bất phương trình là
h) Ta có:



Vậy nghiệm của bất phương trình là

*Ví dụ 11: Giải các bất phương trình:
a) b)
c) d)
e) f)
Lời giải:
a) Ta có:


Vậy nghiệm của bất phương trình là
c)Ta có:



Vậy nghiệm của bất phương trình là
e) Ta có:





Vậy nghiệm của bất phương trình là

b) Ta có:



Vậy nghiệm của bất phương trình là
d) ta có:



Vậy nghiệm của bất phương trình là
f) Ta có:




Vậy nghiệm của bất phương trình là
*Ví dụ 12: Giải các bất phương trình:
a) b)
Lời giải:
a) Ta có:



Vậy nghiệm của bất phương trình là
b) Ta có:


Vậy nghiệm của bất phương trình là

*Ví dụ 13 Giải các bất phương trình:
a) b)
Lời giải:
a) Ta có:

Bất phương trình này vô nghiệm
b) Ta có:

Bất phương trình này có nghiệm bất kì
*Ví dụ 14: Tìm nghiệm chung của hai bất phương trình:
(1) và (2)
Lời giải:
Ta có

Ta có :
Từ (*) và (**) suy ra nghiệm chung của hai bất phương trình là

*Ví dụ 15: Tìm nghiệm nguyên âm của bất phương trình

Lời giải:
Ta có:

Vì là số nguyên âm nên
Dạng 3: Giải bài toán bằng cách lập bất phương trình
*Ví dụ 16: Bạn Thanh có nghìn đồng. Bạn muốn mua một cái bút giá nghìn đồng và một số quyển vở, mỗi quyển vở giá nghìn đồng. Hỏi bạn Thanh mua được nhiều nhất bao nhiêu quyển vở?
Lời giải:
Gọi (quyển) là số vở mà Thanh có thể mua. Theo bài ta ta có bất phương trình

Vì số vở là số tự nhiên nên Thanh có thể mua nhiều nhất quyển vở
*Ví dụ 17: Để hưởng ứng phong trào “Trồng cây gây rừng” lớp 9A có kế hoạch trồng ít nhất cây xanh. Lớp 9a đã trồng được cây. Để đạt được kế hoạch đề ra, lớp 9A cần trồng thêm bao nhiêu cây xanh nữa?
Lời giải:
Gọi là số cây xanh cần trồng thêm của lớp 9A
Theo đề bài, để lớp 9A đạt được kế hoạch đề ra, ta phải có:

Vậy để đạt được kế hoạch đề ra, lớp 9A phải trồng thêm ít nhất cây xanh nữa
*Ví dụ 18: Trong một kì thi gồm ba môn Toán, Ngữ Văn và Tiếng Anh, điểm số môm Toán và Ngữ văn tính theo hệ số , điểm môn Tiếng Anh tính theo hệ số . Để trúng tuyến, điểm số trung bình của ba môn ít nhất bằng . Bạn Na đã đạt điểm môn Toán, và môn Ngữ Văn. Hãy lập và giải phương trình để tìm điểm số môn Tiếng Anh tối thiểu mà bạn Na phải đạt để trúng tuyển.
Lời giải:
Gọi là điểm số môn Tiếng Anh của bạn Na
Theo đề bài, để bạn Na trùng tuyển, ta phải có:

Vậy để trúng tuyển, bạn Na phải đạt được ít nhất điểm môn Tiếng Anh
*Ví dụ 19: Một ngân hàng đang áp dụng lãi suất gửi tiết kiệm kì hạn tháng là . Bà Mai dự kiến gửi một khoản tiền vài ngân hàng này và cần số tiền lãi hàng năm ít nhất là triệu để chi tiêu. Hỏi số tiền bà Mai cần gửi tiết kiệm ít nhất là bao nhiêu (làm tròn đến triệu đồng)
Lời giải:
Gọi (triệu đồng) là số tiền bà Mai cần gửi tiết kiệm
Ta có số tiền lãi gửi gửi tiết kiệm (triệu đồng) trong một năm là (triệu đồng)
Để có số tiền lãi ít nhất là triệu đồng/năm thì ta phải có:

Vậy bà Mai cần gửi ngân hàng ít nhất triệu đồng
*Ví dụ 20: Trong một cuộc thi tuyển dụng việc làm, ban tổ chức quy định mỗi người ứng tuyển phải trả lời câu hỏi ở vòng sơ tuyển. Mỗi câu hỏi này có sẵn bốn đáp án, trong đó có một đáp án đúng. Người ứng tuyển chọn đáp đúng sẽ được cộng thêm điểm, chọn đáp án sai bị trừ đi điểm. Ở vòng sơ tuyển, ban tổ chức tặng mỗi người dự thi điểm và theo quy định người ứng tuyển phải trả lời hết câu hỏi: người nào có số điểm từ trở lên mới được thi vòng tiếp theo. Hỏi người ứng tuyển phải trả lời chính xác ít nhất bao nhiêu câu hỏi ở vòng sơ tuyển thì mới được vào vòng tiếp theo?
Lời giải:
Gọi lần lượt là số câu trả lời đúng và sai của người ứng tuyển
Số điểm của người ứng tuyển sau câu hỏi là điểm
Để vượt qua vòng sơ tuyển cần ít nhất điểm nên ta có bất phương trình:

Vậy người ứng tuyển phải trả lời chính xác ít nhất câu hỏi
*Ví dụ 21: Bác Ngọc gửi tiền tiết kiệm kì hạn tháng ở một ngân hàng với lãi suất / năm. Bác Ngọc dự định tổng số tiền nhận được sau khi gửi tháng ít nhất là .Hỏi bác Ngọc phải gửi số tiền tiết kiệm ít nhất là bao nhiêu để đạt được dự định đó?
Lời giải:
Gỉa sử bác Ngọc gửi (đồng) tiền tiết kiệm kì hạn tháng (). Khi đó, tổng số tiền bác Ngọc nhận được sau tháng là
(đồng)
Theo giả thiết, ta có
Giải bất phương trình trên, ta có:


Vậy bác Ngọc phải gửi số tiền tiết kiệm ít nhất là triệu đồng để đạt được dự định
*Ví dụ 22: Tổng chi phí của một doanh nghiệp sản xuất áo sơ mi là triệu đồng/ tháng. Gía bán của mỗi chiếc áo sơ mi là nghìn đồng. Hỏi trung bình mỗi tháng doanh nghiệp phải bán được ít nhất bao nhiêu chiếc áo sơ mi để thu được lợi nhuận ít nhất là tỉ đồng sau năm?
Lời giải:
Giả sử trung bình mỗi tháng doang nghiệp bán được chiếc áo sơ mi ( )
Lợi nhuận của doanh nghiệp sau tháng là:
(đồng)
Do đó để doanh nghiệp thu được lợi nhuận ý nhât là tỉ đồng thì

Giải bất phương trình trên, ta có:


Vậy trung bình mỗi thnangs doang nghiệp phải bán được ít nhất chiếc áo sơ mi để doanh nghiệp thu được lợi nhuận ít nhất là tỉ đồng sau năm
C. BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1: Bất phương trình nào sau đây là bất phương trình bậc nhất một ẩn?
a) b) c) d)
Lời giải:
a) là bất phương trình bậc nhất ẩn
b) là bất phương trình bậc nhất ẩn
c) , vì nên không phải là bất phương trình bậc nhất một ẩn
d) vì có chứa nên không phải là bất phương trình bậc nhất một ẩn
Bài 2: Bất phương trình nào sau đây là bất phương trình bậc nhất một ẩn?
a) b) c)
Lời giải:
Bất phương trình ở các câu a,b,c là bất phương trình bậc nhất một ẩn
Bài 3: Kiểm tra xem số nào là nghiệm của mỗi bát phương trình tương ứng sau đây.
a) với b) với
Lời giải
a) Thay , ta có là khẳng định đúng
Vậy là nghiệm của bất phương trình
Thay , ta có : là khẳng định không đúng
Vậy không là nghiệm của bất phương trình
b) Thay , ta có là khẳng định đúng
Vậy là nghiệm của bất phương trình
Thay , ta có là khẳng định không đúng
Vậy không là nghiệm của bất phương trình
Bài 4: Tìm sao cho:
a) Gía trị biểu thức là số dương b) Gía trị biểu thức là số âm
Lời giải
a) Giá trị biểu thức là số dương nên

(Cộng vào cả hai vế)
(nhân vào cả hai vế)
Vậy
b) Giá trị biểu thức là số âm nên

(Cộng vào cả hai vế)
( nhân vào cả hai vế)
Vậy
Bài 5: Giải các bất phương trình sau:
a) b) c) d)
Lời giải
a)

b)

c)


d)


Bài 6: Giải các bất phương trình sau:
a) b) c) d)
Lời giải
a) Giải bất phương trình
(cộng vào cả hai vế)

Vậy nghiệm của bất phương trình là
b) Giải bất phương trình
( nhân vào cả hai vế)
Vậy nghiệm của bất phương trình là
c) Giải bất phương trình
(cộng vào cả hai vế)
( nhân vào cả hai vế)
(nhân số âm đảo chiều)
Vậy nghiệm của bất phương trình là
d) Giải bất phương trình
(cộng vào cả hai vế)
( nhân vào cả hai vế)

Vậy nghiệm của bất phương trình là
Bài 7: Giải các bất phương trình sau:
a) b) c) d)
Lời giải
a) Giải bất phương trình
(cộng vào cả hai vế)
(cộng vào cả hai vế)
( nhân vào cả hai vế)
Vậy nghiệm của bất phương trình là
b) Giải bất phương trình
(cộng vào cả hai vế)
(cộng vào cả hai vế)
( nhân vào cả hai vế)
Nghiệm của bất phương trình là
c) Giải bất phương trình
( cộng và từ cả hai bên)
(Nhân hai vế cho )
Nghiệm của bất phương trình là
d) Giải bất phương trình
(Cộng vào cả hai vế)
(Cộng vào cả hai vế)
( nhân vào cả hai vế)
Nghiệm của bất phương trình là
Bài 8: Giải các bất phương trình sau:
a) b) c) d)
Lời giải
a) Giải bất phương trình
(Cộng vào cả hai vế)

Vậy nghiệm của bất phương trình là
b) Giải bất phương trình
(Cộng vào cả hai vế)

( nhân vào cả hai vế)
Vậy nghiệm của bất phương trình là
c) Giải bất phương trình
( nhân vào cả hai vế)
(Cộng vào cả hai vế)
(Cộng vào cả hai vế)
(Cộng vào cả hai vế)
( nhân vào cả hai vế)
Vậy nghiệm của bất phương trình là
d) Giải bất phương trình
( nhân vào cả hai vế)
(nhân phân phối và mở ngoặc)
(Cộng vào cả hai vế)
(Cộng vào cả hai vế)
( nhân vào cả hai vế)
Vậy nghiệm của bất phương trình là
Bài 9: Giải bất phương trình
a) b) c)
d) e) f)
Lời giải
a)

Vậy nghiệm của bất phương trình là
c)
Vậy nghiệm của bất phương trình là
e)
Vậy nghiệm của bất phương trình là
b)
Vậy nghiệm của bất phương trình là
d)
Vậy nghiệm của bất phương trình là
f)
Vậy nghiệm của bất phương trình là
Bài 10: Tìm số nguyên lớn nhất thỏa mãn bất phương trình sau:
a) b)
Lời giải
a) Ta có:

Do đó số nguyên lớn nhất thỏa mãn bất phương trình trên là
b) Ta có:





Do đó số nguyên lớn nhất thỏa mãn bất phương trình trên là
Bài 11: Tìm nghiệm chung của hai bất phương trình
a) và b) và
Lời giải
a) Ta có hay suy ra
Ta có hay , suy ra
Vậy nghiệm chung của hai bất phương trình trên là
b) Ta có: hay , suy ra
Ta có hay , suy ra
Vậy nghiệm chung của hai bất phương trình trên là
Bài 12: Tìm tập hợp các giá trị của để biểu thức lớn hơn giá trị của biểu thức
Lời giải
Giải bất phương trình
Vậy là giá trị cần tìm
Bài 13: Cho phương trình trong đó là ẩn số, là một số cho trước. Tìm giá trị của để phương trình (1) có nghiệm dương
Lời giải
Giải phương trình (1) theo , ta được . Ta có khi , hay , suy ra
Vậy là giá trị cần tìm
Bài 14: Giải bất phương trình sau:
a) b)
Lời giải
a)

Vậy bất phương trình vô nghiệm
b)

Bất phương trình có nghiệm bất kì
Bài 15: Tìm sao cho ở hình vẽ bên dưới chu vi của hình tam giác luôn lớn hơn chu vi hình chữ nhật
Lời giải
Chu vi tam giác là :

onthicaptoc.com Bai 6 BAT PHUONG TRINH BAC NHAT MOT AN