CĂN BẬC HAI VÀ CĂN THỨC BẬC HAI
A. TRỌNG TÂM KIẾN THỨC
1. Căn bậc hai: Căn bậc hai của số thực không âm là số thực sao cho
* Nhận xét:
+ Số âm không có căn bậc hai
+ Số có một căn bậc hai duy nhất là 0.
+ Số dương có đúng căn bậc hai đối nhau là (căn bậc hai số học của ) và .
* Tính căn bậc hai của một số , chỉ cần tính . Có thể dễ dàng làm điều này bằng cách sử dụng MTCT.
* Tính chất: với mọi số thực .
* Với hai số và không âm ta có:
+ Nếu thì
+ Nếu thì .
2. Căn thức bậc hai
* xác định khi lây giá trị không âm và ta thường viết là .
Ta nói là điều kiện xác định (hay điều kiện có nghĩa của ).
* Tương tự như căn bậc hai của một số thực không âm, với là một biểu thức, ta cũng có:
+ Với ta có ;
+
B. Các dạng bài tập
Dạng 1: Tìm căn bậc hai của một số
Bài 1: Tính
a) b) c)
d) e) f)
g) h)
Lời giải
a) Vì nên
b) Vì nên
c) Vì nên
d) Vì nên
e) Vì nên
f) Vì nên
g) Vì nên
h) Vì nên .
Bài 2: Tìm căn bậc hai của
a) b) c)
d) e) f)
g) h)
Lời giải
a) Ta có nên có căn bậc hai là và
b) Ta có nên có căn bậc hai là và
c) Ta có nên có căn bậc hai là và
d) Ta có nên có căn bậc hai là và
e) Ta có nên có căn bậc hai là và
f) Ta có nên có căn bậc hai là và
g) Ta có nên có căn bậc hai là và
h) Ta có nên có căn bậc hai là và
Bài 3: Tìm căn bậc hai số học của các số sau
a) 12 b) 121 c)
d) 0,09 e) f)
Lời giải
a) 12 có căn bậc hai số học là:
b) 121 có căn bậc hai số học là:
c) có căn bậc hai số học là:
d) 0,09 có căn bậc hai số học là: 0,3
e) có căn bậc hai số học là:
f) 0 có căn bậc hai số học là 0
Bài 4: Tìm căn bậc hai số học của các số sau
a) 64 b) -81
c) d) 0,04
Lời giải
a) 64 có căn bậc hai số học là: 8 b) -81 không có căn bậc hai số học
c) có căn bậc hai số học là: d) 0,04 có căn bậc hai số học là: 0,2
Bài 5: Tìm căn bậc hai của: ; ; ; ; ;
Lời giải
+ Căn bậc hai của là
+ Căn bậc hai của là
+ Căn bậc hai của là
+ Căn bậc hai của là
+ Căn bậc hai của là
+ Do nên không có căn bậc hai.
Bài 6: Tính giá trị của biểu thức:
Lời giải
Ta có:
.
Bài 7: Giá trị của biểu thức sau là số vô tỷ hay hữu tỷ:
Lời giải
Ta có:
Vậy giá trị của biểu thức đã cho là một số hữu tỷ, hơn nữa còn là một số tự nhiên.
Dạng 2: Tìm điều kiện xác định của biểu thức chứa căn. Tính giá trị của biểu thức
I. Phương pháp giải
+) có nghĩa khi
+) có nghĩa khi
+) có nghĩa khi
+) có nghĩa khi
+) có nghĩa khi
+) có nghĩa khi
+) có nghĩa khi
+) có nghĩa khi
+) có nghĩa khi
+) có nghĩa
+) có nghĩa
+)
+)
II. Bài toán
Bài 1: Tìm điều kiện xác định của mỗi căn thức sau:
a) b)
c) d)
Lời giải
a) Điều kiện xác định của căn thức là hay
b) Điều kiện xác định của căn thức là hay
c) Điều kiện xác định của căn thức là
d) Điều kiện xác định của căn thức là
hoặc
Bài 2: Có bao nhiêu giá trị nguyên của để biểu thức xác định?
Lời giải
xác định khi hay
Vì nên
Vậy có 7 giá trị nguyên của để biểu thức có nghĩa.
Bài 3: Xét căn thức
a) Tìm điều kiện xác định của căn thức
b) Tính giá trị của căn thức đã cho tại và
Lời giải
a) Điều kiện xác định của căn thức là hay
b) Tại (thỏa mãn điều kiện) căn thức có giá trị là
Tại (thỏa mãn điều kiện) căn thức có giá trị là
Bài 4: Cho biểu thức
a) Với giá trị nào của thì biểu thức xác định
b) Tính giá trị của biểu thức khi và khi
Lời giải
a) Biểu thức xác định khi hay hay
b) Khi , ta có
Ta thấy nên không xác định tại .
Bài 5: Với giá trị nào của thì biểu thức xác định? Tính giá trị của khi (kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai)
Lời giải
Biểu thức xác định khi hay
Với ta có .
Bài 6: Tìm để các căn thức sau có nghĩa
a. b.
c. d.
e. f.
Lời giải
a) Ta có: có nghĩa
b) Ta có: có nghĩa
c) Ta có: có nghĩa
d) Ta có: có nghĩa
e) Ta có: có nghĩa
f) Ta có: có nghĩa
Chú ý: Với là số dương, ta có:
Bài 7: Với giá trị nào của thì mỗi biểu thức sau có nghĩa
a. b. c.
d. e.
Lời giải
a) Ta có: có nghĩa khi
-2
0
-
│
-
0
+
-
0
+
│
+
+
-
+
b) Ta có: có nghĩa khi
c) Ta có: có nghĩa khi .
Vậy biểu thức luôn có nghĩa
d) Ta có: có nghĩa khi
e) Ta có: có nghĩa khi
Bài 8: Với giá trị nào của thì mỗi biểu thức sau có nghĩa:
a. b.
c. d.
e. f.
g. h.
Lời giải
a) Ta có: có nghĩa
b) Ta có: có nghĩa
c) Ta có: có nghĩa
d) Ta có: có nghĩa
e) Ta có: có nghĩa
f) Ta có: có nghĩa
g) Ta có: có nghĩa
k) Ta có: có nghĩa (vô lý).
Vậy không có giá trị nào của x làm biểu thức có nghĩa.
Dạng 3: Tính toán, rút gọn biểu thức dạng
I. Phương pháp giải
Vận dụng hằng đẳng thức
II. Bài toán
Bài 1: Tính giá trị của các biểu thức sau:
a) b)
c) d)
e) f)
g) h)
Lời giải
a) b)
c) d)
e) f)
g) h)
Bài 2: Tính
a. b.
c. d.
Lời giải
a) Ta có:
b) Ta có:
c) Ta có:
d) Ta có:
Bài 3: Tính
a. b.
c. d.
Lời giải
a) b)
c) d)
Bài 4: Rút gọn các biểu thức sau
a) b) với
c) với
Lời giải
a) (vì )
b) (vì với )
c) (vì với ).
Bài 5: Không sử dụng MTCT, tính:
a) b)
c) d)
Lời giải
a)
b)
c)
d)
.
Bài 6: Tính giá trị của các biểu thức sau:
a) b)
c)
Lời giải
a)
b)
c)
Bài 7: Tính giá trị của các biểu thức sau
a. b.
c) d.
Lời giải
a)
b)
c)
d)
Bài 8: Thực hiện phép tính
a. b.
c.
Lời giải
a) Ta có:
b) Ta có:
c) Ta có:
Bài 9: Tính giá trị của các biểu thức sau
a.
b.
c.
d.
Lời giải
a) Ta có:
b) Ta có:
c) Ta có: C =
d) Ta có:
Bài 10: Tính giá trị của các biểu thức sau
a.
b.
c.
d.
Lời giải
a) Ta có:
b) Ta có:
c) Ta có:
d) Ta có:
Bài 11: Tính giá trị của các biểu thức sau
a. b.
c. d.
e. f.
g. h.
Lời giải
a) Ta có:
b) Ta có:
c) Ta có:
d) Ta có:
e) Ta có:
f) Ta có:
g) Ta có:
h) Ta có:
Bài 12: Thực hiện các phép tính sau
a)
b)
c)
d)
Lời giải
a) Ta có:
b) Ta có:
c) Ta có:
d) Ta có:
Bài 13: Rút gọn các biểu thức sau
a)
b)
c)
d)
Lời giải
a) Ta có:
b) Ta có:
c) Ta có:
d) Ta có:
Bài 14: Chứng minh rằng
a) b)
c) d)
Lời giải
a) Ta có: đpcm
b) Ta có: đpcm
c) Ta có: đpcm
d) Ta có: (đpcm).
Dạng 4: Rút gọn các biểu thức chứa biến
I. Cách giải:
Sử dụng hằng đẳng thức:
II. Bài toán
Bài 1: Rút gọn các biểu thức sau
a)
b)
c) (với bất kỳ)
d) (với bất kỳ )
Lời giải
a) Ta có:
b) Ta có:
c) Ta có: (với a bất kỳ )
d) Ta có: (với a bất kỳ )
+)
+)
Bài 2: Rút gọn các biểu thức sau
a)
b)
Lời giải
a) Ta có:
b) Ta có:
Bài 3: Rút gọn các biểu thức sau
a) b)
Lời giải
a) Ta có
+ nếu
+ nếu
b) Ta có
+ Nếu thì
+ Nếu thì .
Bài 4: Rút gọn các biểu thức sau
a) với
b) với
Lời giải
a) Ta có
Do giả thiết suy ra nên
Vì vậy với
b) Từ giả thiết suy ra .
Do đó .
Bài 5:
a) Rút gọn biểu thức ()
b) Rút gọn và tính giá trị biểu thức tại
Lời giải
a) Ta có: (vì )
b) Ta có:
Thay vào ta có
Bài 6: Cho biểu thức
a) Rút gọn biểu thức
b) Tính giá trị của khi
Lời giải
a)
+ Nếu thì
+ Nếu thì
b) Khi thì giá trị của là
Bài 7: Cho biểu thức
a) Rút gọn biểu thức
b) Tính giá trị của khi
Lời giải
a)
+ Nếu thì
+ Nếu thì
b) Ta phải xét hai trường hợp
+ hay (thỏa mãn )
+ hay (không thỏa mãn )
Vậy khi .
Bài 8: Rút gọn các biểu thức sau:
a) b)
Lời giải
a)
(điều kiện )
b)
(điều kiện )
+ Nếu thì
+ Nếu thì .
Bài 9: Rút gọn các biểu thức sau
a)
b)
c)
d)
e)
Lời giải
a) Ta có:
Với , ta được:
b) Ta có:
c) Ta có:
- Nếu thì
- Nếu thì
d) Ta có: với
+) Nếu
+) Nếu
e) Ta có:
Bài 10: Cho biểu thức:
a. Với giá trị nào của thì có nghĩa
b. Tính nếu
Lời giải
a) Ta có:
có nghĩa
b) Ta có:
Bài 11: Cho ba số dương thỏa mãn .
Tính
Lời giải
Ta có: ;
;
Vậy .

onthicaptoc.com Bai 7 CAN BAC HAI VA CAN THUC BAC HAI