onthicaptoc.com
CHUYÊN ĐỀ : HẲNG ĐẲNG THỨC
A. CÁC HẰNG ĐẲNG THỨC CƠ BẢN
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Bài 1:
a) Tính
b) Tính
Lời giải
a)
b) Ta xét hai trường hợp
- TH1: Nếu n chẵn thì
- TH1: Nếu n lẻ thì
Hai kết quả trên có thể dùng công thức:
Bài 2: So sánh và
Lời giải
Ta có:
Bài 3: Rút gọn các biểu thức sau
a. b.
c.
Lời giải
a.
b.
c.
Bài 4: Chứng minh rằng
a.
b.
Lời giải
a. Ta có: VT =
b. VT =
Nhận xét: Đây là bất đẳng thức Bunhicopski.
Bài 5: Cho
Lời giải
VT =
Mà:
Bài 6: CMR, nếu thì ad = bc
Lời giải
VT =
VP =
VT = VP
Bài 7: CMR, nếu:
a. a + b + c = 0 thì
b. thì x = y = z
Lời giải
a. Ta có :
b. Đặt : và
Từ giả thiết ta có :
Bài 8: Chứng minh rằng không tồn tại các số thực x, y, z thỏa mãn:
a. b.
Lời giải
a.
b.
Bài 9: Tìm x, y thỏa mãn
a. b.
c.
Lời giải
a. Ta có:
b.
c.
Bài 10: Chứng minh rằng biểu thức sau viết được dứơi dạng tổng các bình phương của hai biểu thức:
Lời giải
Ta có:
Bài 11: Cho . Tính theo a giá trị của biểu thức
Lời giải
Ta có:
Bài 12: Chứng minh là bình phương của một đa thức
Lời giải
Ta có:
Đặt
Bài 13:
a) Cho a, b, c thỏa mãn . Tính giá trị của biểu thức sau
b) Cho thỏa mãn Chứng minh rằng luôn là tổng của ba số chính phương
c) Chứng minh rằng: Nếu p và q là hai số nguyên tố thỏa mãn thì
cũng là số nguyên tố
Lời giải
a) .Vậy
b)
c)
mà ( p nguyên tố ); (q nguyên tố ). Do đó
Ta có: lẻ, do đó p chẵn là số nguyên tố
Bài 14: [ HSG – năm 2015 ]
Cho a, b, c thỏa mãn: viết được dưới dạng bình phương của một biểu thức
Lời giải:
Cách 1:

Có:
Có:
Cách 2: Ta có:
HẰNG ĐẲNG THỨC BẬC BA
1.
2.
Bài 1: Cho . Tính
Lời giải
Bài 2: Tính
Lời giải
Ta có:
Cho k chạy từ 2 đến 100, ta thu được:
Bài 3: Cho . Chứng minh rằng biểu thức sau không phụ thuộc vào x, y.
Lời giải
Ta có:
Bài 4: Cho . Tính
Lời giải
Ta có:
Bài 5: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
Lời giải
Bài 6: Cho a + b + c = 0, CMR:
Áp dụng tính
Lời giải
Từ giả thiết
+)
Bài 7: Cho a, b, c thỏa mãn:
Lời giải
Ta có:
Bài 8: Cho a, b, c thỏa mãn: . Tính
Lời giải
Đặt
Bài 9: Cho Chứng minh rằng
Lời giải
Ta có:
Do
Thay các kết quả vào ta được:
Bài 10: Cho Tính theo m và n
Lời giải
Cách 1: Từ
Cách 2: Ta có:
Lại có:
Bài 11: Cho Tính giá trị biểu thức sau theo m
Lời giải
Ta có:
Đặt
HẰNG ĐẲNG THỨC:
Ta có:
Bài 1: Cho a, b, c thỏa mãn: abc =1 . Tính:
Lời giải
Đặt
Bài 2: Phân tích thành nhân tử
a.
b.
Lời giải
a. Đặt
b.
Bài 3: Cho a, b, c thỏa mãn : a + b + c = a3 + b3 + c3 = 1
Tính ( n là số tự nhiên lẻ )
Lời giải
Ta có:
+) TH1:
+) Tương tự ta có: A = 1.
Bài 4: Giải các phương trình sau
a. b.
c. d.
Lời giải
a.
b.
Đặt
c.
Bài 5: Cho . Tính
Lời giải
Cách 1: Nếu
Cách 2:
Bài 6: Giải các phương trình sau:
Lời giải
Bài 7: Rút gọn
Lời giải
Đặt
HẰNG ĐẲNG THỨC:
Nhận xét
- Nếu
- Nếu
Áp dụng:
Bài 1: Cho các số thực a, b, c khác 0 thỏa mãn: . Tính giá trị của biểu thức

Lời giải
Vì:
+) Nếu
+) Nếu
Bài 2: Giải hệ phương trình sau:
Lời giải
Ta có:
+) Nếu
+) Nếu ( khôn thỏa mãn )
Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) = (3; -5)
Bài 3: Giải phương trình sau:
Lời giải
Ta có:
Từ (1)(2)
Bài 4: Cho các số thực phân biệt a, b, c khác 0 và thỏa mãn: . Tính giá trị của biểu thức:
Lời giải
Ta đặt
Tương tự ta có:
Bài 5*: Giả sử bộ ba số là nghiệm của phương trình . Chứng minh rằng bộ ba số cũng là nghiệm của phương trình đó
Lời giải
Ta có:
Vì nghiệm của phương trình là bộ ba số khác 0 nên các số a, b, c là ba số khác nhau và khác 0
+) Nếu:
Từ:
+) Nếu:
Tương tự ta có:
Từ (1)(2)(3)
Đặt
Vậy bộ ba số cũng là nghiệm của phương trình đã cho.
BÀI TẬP TỰ LUYỆN:
Bài 1: Tính giá trị của biểu thức
a) với a, b, c là các số thực thỏa mãn:
b) với a, b, c là các số thực khác 0 thỏa mãn:
Bài 2: Cho Tính giá trị của biểu thức
Bài 3: Cho a, b, c là các số nguyên thỏa mãn Chứng minh rằng
chia hết cho 81
Bài 4: Giải các hệ phương trình sau
a)
b)
CÁC HẰNG ĐẲNG THỨC MỞ RỘNG HAY SỬ DỤNG
1.
2.
3.
Áp dụng:
Bài 1: Chứng minh rằng:
Lời giải
Biến đổi vế trái bằng vế phải rồi kết luận
Bài 2: Cho a, b, c, d thỏa mãn: a2 + b2 + c2 + d2 = 1. Tính giá trị của biểu thức
Lời giải
Cách 1: Áp dụng hằng đẳng thức
Cách 2: Ta có
Áp dụng ta được:
Bài 3: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a. b.
c.
Lời giải
a.
b.
c.
Bài 4: Tìm x, y, z thỏa mãn
a. b.
c. d.
e.
Lời giải
a.
b.
c.
d.
e.
Bài 5: Chứng minh rằng không tồn tại số thực x, y, z thỏa mãn:
a. b.
Lời giải
a.
b.
Bài 6: Cho a + b + c = 0 và a2 + b2 + c2 = 2. Tính a4 + b4 + c4
Lời giải
Ta có:
Có:
Từ (1)
Thay vào (2)
Bài 7: Chứng minh rằng, nếu: thì
Lời giải
Từ (1)
HẰNG ĐẲNG THỨC MỞ RỘNG ( tiếp )
1.
2.
3.
4.
5. ( với n lẻ )
Áp dụng:
Bài 1: Giải hệ phương trình sau
a. b.
c.
Lời giải
a. Ta có:
b. Ta có:
c. Ta có:
Bài 2: Chứng minh rằng :
Lời giải
Ta có:
Bài 3: Chứng minh rằng: Ta có: , n chẵn
Lời giải:
Vì n chẵn, đặt n = 2k ( k thuộc N* ), ta có: 323 = 17.19
Từ (1) và (2)
Bài 4: Tìm n thuộc N* để là số nguyên tố
Lời giải
Ta có
+) Nếu n > 1 thì A > n2 + n + 1 suy ra A là hợp số
+) Nếu n = 1 thì A = 3 ( thỏa mãn ). Vậy n = 1
Bài 5: Chứng minh rằng số
a. là hợp số b. là hợp số
Lời giải
a. Ta có:
Là hợp sô
b.
và B > nên B là hợp số.
Bài 6: Chứng minh rằng
Lời giải:
Ta có 111 = 37 . 3 = 102 + 10 + 1
Bài 7: Chứng minh rằng
Lời giải
Ta có:
Vậy A chia hết cho 7. 271 = 1897.
Bài 8: Chứng minh rằng
Lời giải
Ta có 133 = 112 + 11 +1
Vậy
Bài 9: Cho a, b, c thỏa mãn a2 + b2 + c2 = 1. Tính giá trị của biểu thức
Lới giải
Khai triển và rút gọn ta được:
Bài 10: Phân tích đa thức sau thành tích của 2 đa thức
Lời giải
Ta có:
Bài 11: Tìm x, y, z thỏa mãn
a.
b.
Lời giải
a.
b.
onthicaptoc.com

onthicaptoc.com 1 Chuyen de boi duong HSG toan 8 Hang dang thuc