CĂN BẬC BA VÀ HẰNG ĐẲNG THỨC
A. TRỌNG TÂM KIẾN THỨC
1. Căn bậc ba
* Căn bậc ba của số thực là số thực thỏa mãn
* Chú ý: Mỗi số đều có duy nhất một căn bậc ba. Căn bậc ba của số được kí hiệu là . Trong kí hiệu , số 3 được gọi là chỉ số căn. Phép tìm căn bậc ba của một số gọi là phép khai căn bậc ba.
* Nhận xét: Từ định nghĩa căn bậc ba, ta có với mọi số thực .
Do đó, có thể giải
2. Căn thức bậc ba
* Căn thức bậc ba là biểu thức có dạng , trong đó là một biểu thức đại số.
* Chú ý:
+ Tương tự căn bậc ba của một số, ta cũng có ( là một biểu thức).
+ Để tính giá trị của tại những giá trị cho trước của biến, ta thay các giá trị cho trước của biến vào căn thức rồi tính giá trị của biểu thức số nhận được.
II. Căn bậc n
Căn bậc và , của một số là một số mà lũy thừa bậc của nó bằng
Ký hiệu:
+) Căn bậc lẻ: Bất kỳ số thực nào cũng có một căn bậc lẻ và chỉ một mà thôi
Với mọi số tự nhiên ta có:
+) Khai căn bậc của một tích số:
+) Phép nhân các căn bậc
+) Khai căn bậc của một thương số:
+) Phép chia hai căn thức bậc :
+) Đưa một thừa số ra ngoài dấu căn:
+) Đưa một thừa số vào trong dấu căn:
+) Lũy thừa một căn thức:
+) Hạ bậc một căn thức hoặc nâng bậc một căn thức:
+) Khai căn một căn thức:
*) Lưu ý: Khi chẵn thì
+) Khử căn trong mẫu:
B. Các dạng bài tập
Dạng 1: Tính căn thức bậc ba
I. Cách giải:
Áp dụng công thức:
- Các hằng đẳng thức liên quan đến bậc ba
+)
+)
+)
+)
II. Bài toán
Bài 1: Không dùng MTCT, tính
a) b) c)
d) e) f)
g) h) i)
j) k) l)
Lời giải
a) b) c)
d) e) f)
g) h) i)
j) k) l) .
Bài 2: Không dùng MTCT, tính
a) b)
c) d)
Lời giải
a) b)
c) d)
Bài 3: Hãy tính
a) b)
c) d)
Lời giải
a) Ta có:
b) Ta có:
c) Ta có:
d) Ta có:
Bài 4: Làm phép tính
a) b)
c) d)
Lời giải
a) Ta có:
b) Ta có:
c) Ta có:
d) Ta có:
Bài 5:
a) Tính giá trị của căn thức tại và tại
b) Tính giá trị của căn thức tại và tại .
Lời giải
a) Với ta có
Với ta có
b) Với ta có
Với ta có .
Bài 6: Sử dụng máy tính cầm tay, tính các căn bậc ba sau và làm tròn đến kết quả với độ chính xác .
a) b)
Lời giải
a) Bấm các phím qs45, màn hình hiển kết quả
Làm tròn kết quả với độ chính xác , ta được .
b) Bấm các phím qs3.25, màn hình hiển kết quả
Làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai ta được .
Bài 7: Sử dụng MTCT, tìm căn bậc ba của các số sau (kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba)
a) b) c)
d) e) f)
Lời giải
a) Để tính , ấn liên tiếp các phím ta được kết quả
Từ đó, (kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba).
b) Để tính , ấn liên tiếp các phím ta được kết quả
Từ đó, (kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba).
c) Để tính , ấn liên tiếp các phím ta được kết quả
Từ đó, (kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba).
d) Để tính , ấn liên tiếp các phím ta được kết quả
Từ đó, (kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba).
e) Để tính , ấn liên tiếp các phím ta được kết quả
Từ đó, (kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba).
f) Để tính , ấn liên tiếp các phím ta được kết quả
Từ đó, (kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba).
Bài 8: Cho biểu thức . Tính giá trị của khi và khi (kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba).
Lời giải
+ Với , ta có
+ Với , ta có .
Bài 9: Cho biểu thức . Tính giá trị của biểu thức khi và khi (kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).
Lời giải
+ Với , ta có
+ Với , ta có .
Bài 10: So sánh
a) và b) và
c) và d) và
Lời giải
a) Do nên
b) Do . Do nên hay
c) Ta có . Do nên
d) Ta có ; .
Do nên .
Bài 11: So sánh
a) và b) và
Lời giải
a) Ta có:
Vì nên .
b) Ta có:
Vậy .
Bài 12: Cho , hỏi số nào lớn hơn trong hai số và
Lời giải
Ta có suy ra (vì )
Do đó .
Dạng 2: Tính giá trị, rút gọn biểu thức chứa căn bậc ba
I. Phương pháp giải
Với mọi , ta có:
+
+
II. Bài toán
Bài 1: Tính giá trị của các biểu thức
a) b)
c) d)
Lời giải
a) Ta có:
b) Ta có:
c) Ta có:
d) Ta có:
Bài 2: Rút gọn các biểu thức
a) b)
c) d)
e) f)
Lời giải
a)
b)
c)

d)
e)
f)
.
Bài 3: Tính
Lời giải
Đêt tính giá trị của , ta tính sau đó suy ra .
Bạn nên nhớ hẳng đẳng thức
Ta có:
(vì )
Vậy .
Bài 4: Thực hiện các phép tính
a) b)
c) d)
Lời giải
a) Ta có:
b) Ta có:
c) Ta có:
d) Ta có:
Bài 5: Thực hiện các phép tính
a) b)
c) d)
Lời giải
a) Ta có:
b) Ta có:
c) Ta có:
d) Ta có:
Bài 6: Thực hiện phép tính
a. b.
c. d.
e.
Lời giải
a) Ta có:
b) Ta có:
c) Ta có:
d) Ta có:
e) Ta có:
Bài 7: Rút gọn biểu thức
a)
b)
Lời giải
a) Ta có:
b) Ta có:
Bài 8: Rút gọn biểu thức
a)
b)
Lời giải
a) Ta có
b) Ta có
Bài 9: Rút gọn các biểu thức
a) b)
c) d)
Lời giải
a)
b)
c)
d) .
Bài 10: Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào biến x
a)
b)
Lời giải
a) Ta có:
đpcm.
b) Ta có: đpcm.
Bài 11: Tính
a.
b.
Lời giải
a) Ta có:
Cách 1:
Cách 2:
b.
Đặt
Vậy .
Bài 12*: Tính
Lời giải
Cách 1: Biến đổi biểu thức dưới dấu căn ta được:
Cách 2: Biến đổi dựa vào hằng đẳng thức:
Ta có:
Mà với mọi
Từ
Vậy .
Bài 13*: Tính giá trị của các biểu thức sau
a. tại
b. , biết:
c. , biết:
Lời giải
a) Đặt
b) Áp dụng:
c) Ta có:
.
Vậy .
Dạng 2: Khử mẫu thức chứa căn bậc ba
I. Cách giải: Cần chú ý
+) có biểu thức liên hợp là: và ngược lại
+) có biểu thức liên hợp là: và ngược lại
II. Bài toán
Bài 1: Khử căn thức ở mẫu
a. b.
c. d.
Lời giải
a) Ta có:
b) Ta có:
c) Ta có:
d) Ta có:
Bài 2: Trục căn thức ở mẫu các biểu thức sau
a. b.
Lời giải
a) Ta có:
b) Ta có:
.
Bài 3: Tính
a. b.
Lời giải
a) Ta có
b) Ta có
.
Dạng 3: So sánh các căn bậc ba
I. Cách giải: Để so sánh các căn bậc ba, ta chú ý:
+) (đưa thừa số vào trong căn)
+)
II. Bài toán
Bài 1: So sánh cặp số sau
a) và b) và
Lời giải
a) Ta có:
b) Ta có:
Bài 2: So sánh cặp số sau
a) và b) và
Lời giải
a) Ta có:
b) Ta có:
Bài 3: Hãy so sánh
a. và b. và
c. và d. và
Lời giải
a. Ta có:
b. Ta có:
c. Ta có:
d) Ta có:
Bài 4: So sánh
a. và hoặc
b. và hoặc
Lời giải
a) Ta có:
b) Ta có: .
Dạng 4: Giải phương trình chứa căn bậc ba
I. Cách giải:
Áp dụng
II. Bài toán
Bài 1: Giải các phương trình sau
a. b.
Lời giải
a) Ta có:
b) Ta có:
Bài 2: Giải các phương trình sau
a. b.
Lời giải
a) Ta có:
b) Ta có:
Bài 3: Giải các phương trình sau
a.
b.
Lời giải
a) Ta có:
b) Ta có:
Bài 4: Giải các phương trình sau
a.
b.
Lời giải
a) Ta có:
b) Ta có:
Bài 5: Giải các phương trình sau
a. b.
Lời giải
a) Ta có:
b) Ta có:
Bài 6: Tìm , biết
a. b.
c. d.
Lời giải
a) Ta có:
b) Ta có:
c) Ta có:
d) Ta có: .
Dạng 4: Bài toán thực tế
Bài 1: Có hai khối bê tông lập phương và có thể tích lần lượt là và (xem hình vẽ)
Lời giải
a) Gọi là độ dài cạnh của khối bê tông , với
Ta có: hay suy ra
Vậy độ dài cạnh của khối bê tông là
b) Gọi độ dài là độ dài cạnh của khối bê tông , với
Ta có: suy ra .
Bài 2: Dùng định luật của Kepler về sự chuyển động của các hành tinh trong hệ Mặt Trời cho biết khoảng cách trung bình (triệu dặm) từ một hành tinh quay xung quanh Mặt Trời đến Mặt Trời được tính bởi công thức với (ngày Trái Đất) là thời gian hành tinh đó quay quanh Mặt Trời đúng một vòng (Nguồn: https://vi.wikipedia.org).
a) Trái Đất quay một vòng quanh Mặt trời trong khoảng ngày Trái Đất. Hỏi khoảng cách trung bình giữa Trái Đất và Mặt Trời là bao nhiêu kilômét (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)? Biết 1 dặm bằng
b) Một năm Sao Hỏa dài bằng ngày trên Trái Đất, nghĩa là Sao Hỏa quay xung quanh Mặt Trời đúng một vòng với thời gian bằng ngày Trái Đất. Hỏi khoảng cách trung bình giữa Sao Hỏa và Mặt Trời là bao nhiêu triệu kilômét (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).
Lời giải
a) Thay vào công thức , ta có:
(triệu dặm).
Đổi triệu dặm triệu.
Vậy khoảng cách trung bình giữa Trái Đất và Mặt Trời là khoảng triệu .
b) Thay vào công thức , ta có:
(triệu dặm).
Đổi triệu dặm triệu.
Vậy khoảng cách trung bình giữa Sao Hỏa và Mặt Trời là khoảng triệu.
Bài 3: Chiều cao ngang vai của một con voi đực ở châu Phi là có thể được tính xấp xỉ bằng công thức với là tuổi con voi tính theo năm (nguồn: J.Libby, Math for Lìe: Teaching and Practical Uses for Algebra, Mcfarland, năm 2017).
a) Một con voi đực 8 tuổi thì có chiều cao ngang vai là bao nhiêu centimet?
b) Nếu một con voi đực có chiều cao ngang vai là thì con voi đó bao nhiêu tuổi (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

onthicaptoc.com Bai 10 CAN BAC BA