onthicaptoc.com
TRƯỜNG THCS QUẢNG THẠCH
ĐỀ THI GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2023-2024
MÔN: TOÁN 7
Thời gian làm bài: 120 phút
(Không tính thời gian phát đề)
Bài 1. (4,0 điểm)
1. Tính
a. Thực hiện phép tính:
b. Tính giá trị biểu thức:
2. Tính giá trị biểu thức
a. Tìm : .
b. Tìm biết: và .
Bài 2. (4,0 điểm)
a.Tìm biết:
b. Nhà trường thành lập 3 nhóm học sinh khối 7 tham gia chăm sóc di tích lịch sử. Trong đó, số học sinh của nhóm I bằng số học sinh của nhóm II và bằng số học sinh nhóm III. Biết rằng số học sinh của nhóm I ít hơn tổng số học sinh của nhóm II và nhóm III là 18 học sinh. Tính số học sinh của mỗi nhóm
Bài 3. (4,0 điểm)
a. Cho đa thức với .
Chứng minh rằng biết .
b. Cho là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng
.
Bài 4. (6,0 điểm)
1) Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Vẽ các tia Bx, Cy vuông góc với BC nằm trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa điểm A. Gọi D là một điểm nằm giữa B và C. Đường thẳng vuông góc với AD tại A cắt Bx và Cy theo thứ tự tại E và F.
a) Chứng minh DAEB = DADC;
b) Chứng minh tam giác EDF vuông cân;
c) Xác định vị trí điểm D trên BC để EF có độ dài nhỏ nhất.
2. Một phòng học hình hộp chữ nhật có chiều dài 10 m,chiều rộng 5m và chiều cao 4 m. Người ta định sơn bốn bức tường căn phòng, biết giá công sơn là 45000 đồng một mét vuông. Hỏi chi phí tiền công là bao nhiêu? Cho biết căn phòng có 1 cửa chính cao 1,8 m và rộng 2m và hai cửa sổ có cùng chiều dài 80 cm, chiều rộng 60 cm.
Bài 5. (2,0 điểm) Tìm các số hữu tỉ a, b, c thỏa mãn đồng thời:
ab = c ; bc = 4a ; ac = 9b
HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7
MÔN THI: TOÁN
Câu
Nội dung
Điểm
1
(4đ)
Câu 1 (4,0 điểm).
Câu 1. 1 (2 điểm)
a.





Vậy
0,25
0,25
0,25
0,25
b. Ta có


`
Vậy
0,25
0,25
0,25
0,25
Câu 1.2(2 điểm)
a. Tìm :
.
Vậy .
0,5
0,5
b. Tìm biết: và .
Ta có
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

Vì .
Vì .
Vì .
Vậy .
0,25
0,25
0,25
0,25
2
(4đ)
Câu 2 (4,0 điểm).
Vậy : x = 0 ; x = - 4
0,5
0,5
0,25
0,25
Gọi số học sinh của nhóm I, II, III lần lượt là , , (em) ( , , nguyên dương)
Theo đề bài, ta có :

Vì chia các tỉ số trên cho ta được
Mặt khác:
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau
Vậy số học sinh: Nhóm I là 24 em; nhóm II là 22 em, nhóm III là 20 em
0,25
0,5
0,25
0,5
0,25
0,25
3
(4đ)
Câu 3(4 điểm)
a. Cho đa thức với .
Ta có

Suy ra . Do đó là hai số đối nhau nên

1.0
1.0
b. Vì là độ dài 3 cạnh của một tam giác nên

Do đó .
0,5
0,5
0,5
0,5
4
(6đ)
Câu 4 (6 điểm)
0,25
Câu 4.1(5 điểm)
a) Do DABC vuông cân tại A nên
Do Bx ^ BC nên mà suy ra
Chứng minh tương tự ta được
Ta có:Þ
Xét DAEB vàDADC có: ;;
ÞDAEB = DADC (g -c - g)
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
b) b) Do DAEB = DADCÞ AE = AD mà DAED vuông tại A
Suy ra DAED vuông cân tại A
Þ
Chứng minh tương tự phần a) suy ra DADB = DAFC (g – c – g)
ÞAD = AF ÞDDAF vuông cân tại A
Þ
DEDF có
ÞDEDF vuông cân tại D.
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
c) c) Kẻ AH^ BC Þ DABH vuông tại H có
ÞDABH vuông cân tại HÞHB = HA
DABC vuông cân tại A có đường cao AH đồng thời là trung tuyến suy ra BH = HC
mà HB = HA suy ra BC = 2AH
EF =AE + AF= AD + AD = 2AD ³ 2AH = BC
đẳng thức xảy ra khi D º H.
0,25
0,25
0,25
0,25
Câu 4.2(1 điểm)
Diện tích xung quanh của hình phòng học là:
2.(10 +5)4 = 120 m2
Diện tích cửa là: 1,8.2 + 0,8.0,6.2 = 4,56 m2
Diện tích cần sơn là
120 - 4,56 = 115,44 m2
Chi phí tiền công sơn: 45000.115,44 = 5194800 (đồng)
0,25
0,25
0,25
0,25
5
(2đ)
Câu 5(2 điểm)
Nhân từng vế ba đẳng thức ta được
Nếu thì kết hợp với đề bài ta được
Nếu thì
Kết hợp
Kết hợp
Kết hợp suy ra
Với thì
Với
Vậy có 5 bộ thỏa mãn là
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
onthicaptoc.com

onthicaptoc.com De HSG Toan 7 THCS Quang Thach 23 24