onthicaptoc.com
UBND THỊ XÃ HOÀNG MAI
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ THI OLYMPIC NĂM HỌC 2023-2024
ĐỀ CHÍNH THỨC
(Đề thi gồm 01 trang)
Môn: Toán 7
Thời gian làm bài: 150 phút,
không kể thời gian giao đề
Câu 1. (4,5 điểm) Tính giá trị các biểu thức sau.
a)
b)
c)
Câu 2. (3,5 điểm)
a) Tìm x biết: .
b) Tìm x, y biết: .
c) Tìm số nguyên x để là một số nguyên.
Câu 3. (4,0 điểm)
a) Ông Ba gửi ngân hàng 100 triệu, lãi suất trên 1 năm. Hỏi sau 36 tháng số tiền cả gốc và lãi ông Ba thu được là bao nhiêu ? (Biết nếu tiền lãi không rút ra thì tiền lãi đó sẽ nhập vạ̀o vốn để tính lãi cho các kì hạn tiếp theo).
b) Biết và đồng thời là các số chính phương. Chứng minh .
c) Cho hai đa thức: và . Xác định hệ số của đa thức biết nghiệm của đa thứccũng là nghiệm của đa thức.
Câu 4. (6,0 điểm)
Cho tam giác vuông tại có , kẻ đường cao (). Vẽ đường thẳng là trung trực của cắt cạnh tại , cắt cạnh tại , cắt tia của tam giác tại .
a) Chứng minh và là trung điểm của .
b) Chứng minh điểm cách đều và .
c) Vẽ điểm thuộc đoạn sao cho , gọi là trung điểm của . Chứng minh ba điểm , , thẳng hàng.
Câu 5. (2,0 điểm)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:. --- Hết ---
(Thí sinh không dùng tài liệu, cán bộ coi thi không giải thích gì thêm)
Họ và tên thí sinh: ………………………………………………… Số báo danh: …………
UBND THỊ XÃ HOÀNG MAI
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HƯỚNG DẪN CHẤM THI OLYMPIC
Năm học 2023-2024
(Hướng dẫn chấm gồm 04 trang)
Môn: Toán 7
Câu
Nội dung
Điểm
Câu 1
(4,5 điểm)
a
1.0
0,5
b
0.5
1.0
c
0.5
0.5
0.5
Câu 2
(3,5 điểm)
a
vì
0.5
0.5
0.5
b
Vì ; ; do đó:
. Theo đề bài thì . Từ đó suy ra: Khi đó và suy ra và
Vậy và
0.5
0.5
c
Để là số nguyên thì () là ước của 4, tức là
Vậy giá trị x cần tìm là
0.5
0.5
Câu 3
(4,0 điểm)
a
36 tháng = 3 năm
Năm đầu, ông lãi được số tiền là
100 000 000⋅8%=8 000 000 (đồng)
Năm thứ 2, ông lãi được số tiền là
 (100 000 000+8 000 000).8%=8 640 000 (đồng)
Năm thứ 3, ông lãi được số tiền là
 (100 000 000+8 000 000+8 640 000).8%=9 331 200 (đồng)
Sau 36 tháng, ông Ba rút ra cả vốn cả lãi là
100 000 000 + 8 000 000 + 8 640 000 + 9 331 200=125 971 200 (đồng)
0.25
0.25
0.25
0.25
b
Vì là số chính phương lẻ nên chia cho 8 dư 1, suy ra chia hết cho 8, nên chia hết cho 4 (1)
Ta có chia cho 3 dư 2
Mà số chính phương chia cho 3 dư 0 hoặc 1 nên và chia cho 3 cùng dư 1, nên chia hết cho 3 (2)
Từ (1), (2), nên chia hết cho
0.5
0.5
0.5
0.5
c
HS biết tìm nghiệm của
Nghiệm của cũng là nghiệm của nên:
Thay vào ta có:
Thay vào ta có:
Từ đó HS biến đổi và tính được:
0.5
0.5
Câu 4
(6,0 điểm)
a
c/m (c-g-c)
c/m (góc ngoài tại đỉnh M của )
.
Do đó cân tại nên .
Mặt khác (do )
Suy ra hay là trung điểm của .
1.0
0.5
0.5
0.5
b
c/m: Tam giác cân tại , lại có nên là tam giác đều.
là tam giác đều nên đường cao đồng thời là đường trung tuyến, đường phân giác.
Do nằm trên đường phân giác của nên cách đều , .
0.5
1.0
0.5
c
c/m cân tại .
và nên đều
Do đó chân đường vuông góc của xuống cũng là trung điểm của cạnh hay .
Trong tam giác , điểm thuộc trung tuyến
và .
Do đó là trọng tâm của tam giác .
Do là đường trung tuyến của tam giác nên đi qua .
Do đó , , thẳng hàng.
0.5
0.5
0.5
Câu 5
(2,0 điểm)
Ta có và
Nên
Mà khi và chỉ khi

Từ đó tìm được
Vậy GTNN của
hoặc
0.5
0.5
0.5
0.5
Lưu ý: HS làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa cho câu đó.
---Hết---
onthicaptoc.com

onthicaptoc.com De thi Olympic Toan 7 Hoang Mai 23 24