onthicaptoc.com
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
PHÚ THỌ
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10
TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHUYÊN HÙNG VƯƠNG
NĂM HỌC 2023 – 2024
Môn: Toán
(Dành cho thí sinh thi chuyên Tin)
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian phát đề
Đề thi có 01 trang
Câu 1 (2,0 điểm).
a) Tìm tất cả các giá trị của tham số để phương trình có hai nghiệm phân biệt , thỏa mãn .
b) Cho là các số thực thỏa mãn . Tính giá trị của biểu thức
Câu 2 (2,0 điểm).
a) Tìm tất cả các cặp số nguyên dương thỏa mãn
b) Cho là số nguyên dương lẻ sao cho chia hết cho . Tìm số dư khi chia cho
Câu 3 (2,0 điểm).
a) Giải hệ phương trình
b) Viết lên trên bảng 2023 số: . Mỗi bước ta xoá đi 2 số bất kì trên bảng rồi viết lên bảng số (các số còn lại trên bảng giữ nguyên). Thực hiện liên tục thao tác trên cho đến khi trên bảng chỉ còn lại đúng một số. Hỏi số đó bằng bao nhiêu?
Câu 4 (3,0 điểm). Cho tam giác nhọn với nội tiếp đường tròn các đường cao cắt nhau tại Gọi là giao điểm thứ hai của và là điểm đối xứng với qua
a) Chứng minh tứ giác nội tiếp.
b) Qua kẻ đường thẳng song song với cắt tại . Chứng minh đối xứng với qua
c) Gọi là trung điểm của . Chứng minh đường thẳng và các tiếp tuyến của tại đồng quy.
Câu 5 (1,0 điểm). Xét ba số thỏa mãn tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
.......................Hết.....................
Họ và tên thí sinh:………………………………………………Số báo danh:...........................
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
PHÚ THỌ
KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10
TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHUYÊN HÙNG VƯƠNG
NĂM HỌC 2023-2024
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN TOÁN
(Dành cho thí sinh thi chuyên Tin)
Hướng dẫn chấm có 06 trang
I. Một số chú ý khi chấm bài
- Đáp án chấm thi dưới đây dựa vào lời giải sơ lược của một cách. Khi chấm thi giám khảo cần bám sát yêu cầu trình bày lời giải đầy đủ, chi tiết, hợp logic và có thể chia nhỏ đến 0,25 điểm.
- Thí sinh làm bài theo cách khác với hướng dẫn chấm mà đúng thì tổ chấm cần thống nhất cho điểm tương ứng với thang điểm của hướng dẫn chấm.
- Điểm bài thi là tổng điểm các câu không làm tròn số.
II. Đáp án – Thang điểm
Câu 1 (2,0 điểm).
a) Tìm tất cả các giá trị của tham số để phương trình có hai nghiệm phân biệt , thỏa mãn .
Đáp án
Điểm
Phương trình có hai nghiệm phân biệt và
0,25
Xét
0,25
Áp dụng định lý Vi–ét, ta có:
Ta được
0,25
. Kết hợp với điều kiện, giá trị thỏa mãn.
0,25
b) Cho là các số thực thỏa mãn . Tính giá trị của biểu thức
Đáp án
Điểm
Ta có:
0,25
hoặc
0,25
Với . Ta được
0,25
Với . Ta được
0,25
Câu 2 (2,0 điểm).
a) Tìm tất cả các cặp số nguyên dương thỏa mãn
Đáp án
Điểm
Vì nên
0,25
0,25
, mà nguyên dương
0,25
Với , ta có phương trình: hoặc (không thỏa mãn)
Với , ta có phương trình: (loại do phương trình có 2 nghiệm không nguyên).
Thử lại thỏa mãn phương trình đã cho.
Vậy cặp số nguyên dương cần tìm là .
0,25
b) Cho là số nguyên dương lẻ sao cho chia hết cho . Tìm số dư khi chia cho
Đáp án
Điểm
- Với (không thỏa mãn).
- Với (không thỏa mãn).
- Với (thỏa mãn).
0,25
Suy ra . Giả sử .
Ta có với .
- Khi xảy ra khi lẻ.
- Khi với mọi .
- Khi với mọi .
- Khi với mọi .
- Khi với mọi .
Vậy (lẻ).
0,5
Khi đó
. Vậy chia có số dư là
0,25
Câu 3 (2,0 điểm).
a) Giải hệ phương trình
Đáp án
Điểm
Điều kiện:
Ta có:
0,25
Thế vào phương trình (2) ta được
0,25
Nhận thấy với mọi
Do đó có nghiệm duy nhất (thỏa mãn).
0,25
Với ta được (thỏa mãn).
Vậy hệ phương trình có nghiệm
0,25
b) Viết lên trên bảng 2023 số: . Mỗi bước ta xoá đi 2 số bất kì trên bảng rồi viết lên bảng số (các số còn lại trên bảng giữ nguyên). Thực hiện liên tục thao tác trên cho đến khi trên bảng chỉ còn lại đúng một số. Hỏi số đó bằng bao nhiêu?
Đáp án
Điểm
Đặt
0,25
Với mỗi tập các số dương tùy ý, xét biểu thức:
0,25
Từ suy ra mỗi lần xóa đi 2 số bất kì rồi viết lên bảng số các số còn lại trên bảng giữ nguyên thì giá trị biểu thức của các số trên bảng không đổi.
0,25
Gọi số cuối cùng là a
Vậy số còn lại trên bảng là
0,25
Câu 4 (3,0 điểm). Cho tam giác nhọn với nội tiếp đường tròn các đường cao cắt nhau tại Gọi là giao điểm thứ hai của và là điểm đối xứng với qua
a) Chứng minh tứ giác nội tiếp.
b) Qua kẻ đường thẳng song song với cắt tại . Chứng minh đối xứng với qua
c) Gọi là trung điểm của . Chứng minh đường thẳng và các tiếp tuyến của tại đồng quy.
a) Chứng minh tứ giác nội tiếp.
Đáp án
Điểm
a) Vì là điểm đối xứng với qua nên
0,25
Mà (góc nội tiếp cùng chắn cung ).
0,25
Mặt khác: (vì tứ giác nội tiếp)
0,25
Ta được do đó tứ giác nội tiếp.
0,25
(Lưu ý: Học sinh không giải thích rõ lý do để các góc bằng nhau vẫn cho điểm tối đa).
b) Qua kẻ đường thẳng song song với cắt tại . Chứng minh đối xứng với qua
Đáp án
Điểm
b) Kẻ tiếp tuyến của đường tròn . Ta có
0,25
(vì tứ giác nội tiếp)

0,25
song song. Mà
0,25
Theo giả thiết song song với nhau nên Do đó theo định lý đường kính, dây cung ta được đối xứng với qua .
0,25
(Lưu ý: Học sinh không giải thích rõ lý do để các góc bằng nhau vẫn cho điểm tối đa).
c) Gọi là trung điểm của . Chứng minh đường thẳng và các tiếp tuyến của tại đồng quy.

Đáp án
Điểm
Tiếp tuyến tại cắt nhau ở . Gọi . Lấy là trung điểm của thẳng hàng.
Có tứ giác nội tiếp.
0,25
là phân giác của góc
0,25
Xét
Xét và có: ;

0,25
Mặt khác và đồng dạng có hai đường trung tuyến tương ứng là

Từ thẳng hàng. Vậy đường thẳng và hai tiếp tuyến của tại và đồng quy.
0,25
Câu 5 (1,0 điểm). Xét ba số thỏa mãn tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
Đáp án
Điểm
Sử dụng bất đẳng thức: Với ta có
Áp dụng bất đẳng thức trên ta có:

Lại có
Suy ra
0,25
Từ giả thiết
Với và
Từ (*) ta có
0,25
Đặt .
Khi đó (do ).
0,25
Suy ra
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
Vậy giá trị lớn nhất của là
0,25
.......................Hết.....................
onthicaptoc.com

onthicaptoc.com De TS 10 Toan chuyen Tin Hung Vuong Phu Tho 23 24