onthicaptoc.com

UBND HUYỆN THƯỜNG XUÂN
TRƯỜNG THCS XUÂN LẸ
ĐỀ THI KHẢO SÁT ĐỘI TUYỂN HSG LỚP 6
NĂM HỌC 2023-2024
MÔN THI: TOÁN (Lần 2)
(Thời gian làm bài 120 phút, không kể thời gian phát đề)
Đề thi có 01 trang gồm 5 câu.
Ngày thi: 29/02/2024

Đề bài:
Câu 1: (4.0 điểm). Thực hiện các phép tính sau một cách hợp lí:
1. A =
2. B =
Câu 2: (4.0 điểm).
1. Tìm x, biết:
a) b) =
2. Tìm tất cả các cặp số tự nhiên (x,y) sao cho chia hết cho 36.
Câu 3: (6.0 điểm).
1. Một số tự nhiên chia cho 7 dư 5, chia cho 13 dư 4. Nếu đem số đó chia cho 91 thì dư bao nhiêu?
2. Cho 31 số nguyên trong đó tổng của 5 số bất kỳ là một số dương. Chứng minh rằng tổng của 31 số đó là số dương.
3. Cho n là số nguyên tố lớn hơn 3. Hỏi n2 + 2006 là số nguyên tố hay là hợp số.
Câu 4:(4.0 điểm). Cho tam giác ABC có = 550, trên cạnh AC lấy điểm D sao cho = 300.
a) Tính số đo của .
b) Tính độ dài AC, nếu AD = 4cm, CD = 3cm.
c) Từ B dựng tia Bx sao cho = 900. Tính số đo .
d) Trên cạnh AB lấy điểm E (E không trùng với A và B). Chứng minh rằng 2 đoạn thẳng BD và CE cắt nhau.
Câu 5: (2.0 điểm). Chứng minh rằng:

Hết

Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm!

PHÒNGGD&ĐT THƯỜNG XUÂN
TRƯỜNG THCS XUÂN LẸ
ĐỀ THI KHẢO SÁT ĐỘI TUYỂN HSG LỚP 6
NĂM HỌC 2022-2023
MÔN THI: TOÁN (Lần 2)
(Thời gian làm bài 120 phút, không kể thời gian phát đề)
Đề thi có 01 trang gồm 5 câu.
Ngày thi: 22/02/2023

Câu
Nội dung cần đạt
Điểm
Câu 1.1
(2,0 điểm)
A =



0,5 điểm
0,5 điểm
1,0 điểm
Câu 1.2
(1,0 điểm)
B =



0,5 điểm
0,5 điểm
1,0 điểm
Câu 2.1a
(1,0 điểm)
19x = 76
x = 4
0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
Câu 2.1a
(1,0 điểm)
= (x + 1)2 = 16 x + 1 = 4 hoặc x + 1 = -4
+) x + 1 = 4 => x = 3
+) x + 1 = - 4 => x = -5
Vậy x = 3; x = -5
0,5 điểm
0,25 điểm
Câu 2.2
(2,0 điểm)
Ta có 36 = 9.4. Mà ƯC(4,9) =1
Vậy để chia hết cho 36 thì chia hết cho 4 và 9
chia hết cho 9 khi 3 + 4 + x + 5 + y9 12 + x + y9 (1)
chia hết cho 4 khi 4 y = 2 hoặc y = 6
Với y = 2 thay vào (1) ta được 14 + x9 => x = 4
Với y = 6 thay vào (1) ta được 18 + x9 x = 0 hoặc x = 9
Vậy các cặp (x,y) cần tìm là: (4,2); (0,6) và (9,6)
0,5 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm
Câu 3.1
(2,0 điểm)
Gọi số tự nhiên đó là a.
Vì a chia cho 7 dư 5 a - 5 7 a - 5 + 14 7 a + 9 7
Tương tự: a chia cho 13 dư 4 a + 9 13
mà (7,13) = 1 nên
a+9 = 91k (k N) a = 91k - 9 = 91k - 91 + 82 = 91(k-1) +82
Vậy a chia cho 91 dư 82.
0,5 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm
Câu 3.2
(2,0 điểm)
Trong các số đã cho ít nhất có 1 số dương vì nếu trái lại tất cả đều là số âm thì tổng của 5 số bất kỳ trong chúng sẽ là số âm trái với giả thiết.
Tách riêng số dương đó còn 30 số chia làm 6 nhóm. Theo đề bài tổng các số của mỗi nhóm đều là số dương nên tổng của 6 nhóm đều là số dương và do đó tổng của 31 số đã cho đều là số dương.
1,0 điểm
1,0 điểm
Câu 3.2
(2,0 điểm)
Do n là số nguyên tố lớn hơn 3
nên n = 3k + 1 (k N*) hoặc n = 3k + 2 (k N*)
Nếu n = 3k + 1 (k N*)
thì n2 = (3k + 1)(3k + 1) = 3k(3k + 1) + 3k + 1
suy ra n2 chia 3 dư 1.
Nếu n = 3k + 2 (k N*) thì n2 = (3k + 2)(3k + 2)
= 3k(3k + 2) + 6k + 4 = 3k(3k + 2) + 6k + 3 + 1
suy ra n2 chia 3 dư 1.
Vậy với n là số nguyên tố lớn hơn 3 thì n2 chia 3 dư 1
n2 = 3k + 1 (k N*)
Khi đó n2 + 2006 = 3k + 2007 3
mà n2 + 2006 > 3 nên n2 + 2006 là hợp số.
0,5 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm
Câu 4
(6,0 điểm)
Câu 4.1
(1,0 điểm)
Vì D nằm giữa A và C nên tia BD nằm giữa hai tia BA và BC.
Ta có:
Thay số: 300 + = 550 = 250
0,5 điểm
0,5 điểm
Câu 4.2
(1,0 điểm)
Vì D nằm giữa A và C nên AD + DC = AC
Thay số: AC = 3 + 4 = 7 (cm)
0,5 điểm
0,5 điểm
Câu 4.3
(1,0 điểm)
Trường hợp 1: Tia Bx và BA nằm trên cùng một nửa mặt phẳng bờ chứa tia BD.
Do .Ta có:
Thay số:
Trường hợp 2: Tia Bx và BA nằm trên hai nửa mặt phẳng bờ chứa tia BD.
Do tia BD nằm giữa hai tia Bx và BA. Ta có:
Thay số:
0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
Câu 4.4
(1,0 điểm)
- Xét đường thẳng BD.
Do BD cắt AC nên đường thẳng BD chia mặt phẳng làm 2 nửa: 1 nửa mặt phẳng có bờ BD chứa điểm C và nửa mặt phẳng bờ BD chứa điểm A => tia BA thuộc nửa mặt phẳng chứa điểm A.
E thuộc đoạn AB => E thuộc nửa nửa mặt phẳng bờ BD chứa điểm A
=> E và C ở 2 nửa nửa mặt phẳng bờ BD
=> đường thẳng BD cắt đoạn EC
- Xét đường thẳng CE.
Lập luận tương tự: ta có đường thẳng EC cắt đoạn BD.
Vậy 2 đoạn thẳng EC và BD cắt nhau.
0,5 điểm
0,5 điểm
Câu 5
(2,0 điểm)
A=
Þ 3A =
Þ 4A =
Þ 4A < (1)
Đặt B =
Þ 3B =
4B = B + 3B = 3- < 3 Þ B < (2)
Từ (1)và (2) Þ 4A < B < Þ A <
0,75 điểm
0,75 điểm
0,5 điểm
1. Học sinh làm cách khác đúng thì chấm điểm tối đa tương ứng.
2. Bài hình học sinh không vẽ hình hoặc vẽ hình sai cơ bản thì không cho điểm.
onthicaptoc.com

onthicaptoc.com De thi HSG Toan 6 THCS Xuan Le 23 24