onthicaptoc.com
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG
VĨNH YÊN
NĂM HỌC 2022-2023
ĐỀ CHÍNH THỨC
Môn thi: TOÁN 7
Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giaođề)
(Đề thi gồm có 01 trang)
Câu 1. (4 điểm)
a) Thực hiện phép tính:
b) Tính
c) Chứng tỏ:
Câu 2. (4 điểm)
a) Cho a, b, c là ba số thực khác 0, thoả mãn : và a+b+c 0
Hãy tính giá trị của biểu thức: .
b) Ba lớp 7A, 7B, 7C cùng mua một số gói tăm từ thiện, lúc đầu số gói tăm dự định chia cho ba lớp tỉ lệ với 5,6,7 nhưng sau đó chia theo tỉ lệ 4,5,6 nên có một lớp nhận nhiều hơn dự định 4 gói. Tính tổng số gói tăm mà ba lớp đã mua.
c) Cho ba số x,y, z tỉ lệ với 3,4,5. Tính
Câu 3. (4 điểm)
a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = với x là số nguyên.
b) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình .
Câu 4. (6 điểm)
Cho tam giác ABC có AB < AC. Trên tia đối của tia CA lấy điểm D sao cho CD = AB. Gọi P,Q là trung điểm của AD, BC, và I là giao điểm các đường vuông góc với AD và BC tại P và Q.
a) Chứng minh ∆AIB = ∆DIC
b) Chứng minh AI là tia phân giác của góc BAC.
c) Kẻ IE vuông góc với AB, chứng minh .
Câu 5. (2 điểm) Cho biết xyz=1
Tính giá trị A =
Giám thị coi thi không giải thích gì thêm - SBD:.......................
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG
VĨNH YÊN
NĂM HỌC 2022-2023
ĐỀ CHÍNH THỨC
Môn thi: TOÁN 7
( Đáp án gồm có 03 trang)
Câu
Phần
Nội dung
Điểm
Câu 1
(4 điểm)
a
2đ
0,5
0,5
1
b
2đ
S =(-3)0+(-3)1 + (-3)2+(-3)3+...+ (-3)2015.
-3S = (-3).[(-3)0+(-3)1+(-3)2 + ....+(-3)2015]
= (-3)1+ (-3)2+ ....+(-3)2016]
-3S – S = [(-3)1 + (-3)2+...+(-3)2016]-(3)0-(-3)1-...-(-3)2015.
-4S = (-3)2016 -1.
S = =
0.5
0.5
0.5
0.5
Câu 2
( 4 điểm )
a
1,5 đ
+Vì a+b+c 0
Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau ,ta có:
= = 1
mà = 2
=> =2
Vậy B ==8
0.5
0.5
0.5
b
1,5 đ
c
1 đ
Gọi tổng số gói tăm 3 lớp cùng mua là x ( x là số tự nhiên khác 0)
Số gói tăm dự định chia cho 3 lớp 7A, 7B, 7C lúc đầu lần lượt là: a, b, c
Ta có: (1)
Số gói tăm sau đó chia cho 3 lớp lần lượt là a’, b’, c’, ta có:
(2)
So sánh (1) và (2) ta có: a > a’; b=b’; c < c’ nên lớp 7C nhận nhiều hơn lúc đầu
Vây: c’ – c = 4 hay
Vậy số gói tăm 3 lớp đã mua là 360 gói.
Từ
=>
=>10z = 12y = 15x
=> => và 3x – 2y + 5z = 96
Giải ra ta được x = 12; y = 15; z = 18
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
Câu 3
(4 điểm)
a
2đ
1) Ta có:

Dấu “=” xảy ra khi
KL:……..
0.5
0.5
0.5
0.5
b
2đ
2) Vì x,y,z nguyên dương nên ta giả sử 1 xyz
Theo bài ra 1 = ++ + + =
=> x 2 3 => x = 1
Thay vào đầu bài ta có => y – yz + 1 + z = 0
=> y(1-z) - ( 1- z) + 2 =0
=> (y-1) (z - 1) = 2
TH1: y -1 = 1 => y =2 và z -1 = 2 => z =3
TH2: y -1 = 2 => y =3 và z -1 = 1 => z =2
Vậy có hai cặp nghiệp nguyên thỏa mãn (1,2,3); (1,3,2)
0.25
0.5
0.5
0.25
0.25
0.25
Câu 4
(6 điểm )
0,5
a
2đ
Ta có IB = IC, IA = ID
Lại có AB = CD (gt)
Do đó ∆AIB = ∆DIC (c.c.c)
1
0,5
0,5
b
1,5đ
CM: DAI = D
∆AIB = ∆DIC (câu a), suy ra BAI = D
Do đó DAI = BAI.
Vậy AI là tia phân giác của góc BAC
0,5
0,5
0,5
c
2đ
Kẻ IE ^AB, ta có ∆AIE = ∆AIP
=> AE = AP
Mà AP = ½ AD (vì P là trung điểm AD)
Suy ra
0,5
0,5
0,5
0,5
Câu 5
( 2 điểm )

=
1
1
Lưu ý .Học sinh có cách giải khác đúng vẫn cho điểm tối đa.
PHÒNG GD & ĐT DIỄN CHÂU
LIÊN TRƯỜNG THCS
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TRƯỜNG VÒNG 1 NĂM HỌC 2022-2023
MÔN THI: TOÁN 7
Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề)

Câu 1. (4,5 điểm)
1. Tính giá trị biểu thức:
a) ; b)
c)
Câu 2. (4,0 điểm)
a) Tìm x biết: ;
b) Tìm x, y biết: ;
c) Tìm số tự nhiên x, y biết:
Câu 3. (4,5 điểm)
a) Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3, biết p + 2 cũng là số nguyên tố. Chứng tỏ rằng p + 1 chia hết cho 6.
b) Tìm số nguyên x để biểu thức sau đạt giá trị lớn nhất, tìm giá trị lớn nhất đó: .
c) Một trường THCS có ba lớp 7, tổng số học sinh hai lớp 7A, 7B là 85 em, Nếu chuyển 10 học sinh từ lớp 7A sang lớp 7C thì số học sinh ba lớp 7A, 7B, 7C tỉ lệ thuận với 7;8;9. Hỏi lúc đầu mỗi lớp có bao nhiêu học sinh?
Câu 4.(7,0 điểm)
1. Cho tam giác ABC cân tại A. Trên cạnh BC lấy điểm D, trên tia đối của CB lấy điểm E sao cho BD = CE. Các đường thẳng vuông góc với BC kẻ từ D và E cắt AB và AC lần lượt ở M và N. Chứng minh rằng:
a) BM = CN.
b) BC < MN.
c) Đường thẳng vuông góc với MN tại giao điểm của MN và BC luôn luôn đi qua một điểm cố định khi D thay đổi trên cạnh BC
2. Cho tam giác ABC có góc B bằng 450 , góc C bằng 1200. Trên tia đối của tia CB lấy điểm D sao cho CD = 2CB . Tính góc ADB
--------------HẾT--------------
Giám thị không giải thích gì thêm
Họ và tên thí sinh...............................................................SBD:.............
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH TRƯỜNG MÔN TOÁN LỚP 7
NĂM HỌC 2022-2023
( Hướng dẫn chấm này có 04 trang )
Câu
Ý
Nội dung
Điểm
1
4,5đ
a
1,5
1. Tính giá trị biểu thức:
a) ;
1,5
0,5
0,5
0,5
b
1,5
b)
1,5
0.5
0.5
0.5
c
1,5
c)
1,5
0,5
0,5
0.5
2
4,0
đ
a
1,0
2. a) Tìm x biết: ;
1,0

0.25
0.25
0.5
b
1,5
b) Tìm x, y biết: ;
1,5
Áp dụng tính chất dãy tỷ số bằng nhau ta có:
0,5
=>
TH1: y = 0, thay vào=> không thỏa mãn
0,5
TH2:
Thay x = 2 vào trên ta được:
=>1+ 3y = -12y=> y =
Vậy x = 2, y = thoả mãn đề bài.
0,5
c
1,5
c) Tìm số tự nhiên x, y biết:
1,5
Vì x, y là các số tự nhiên nên , ylà các số chính phương nên không âm nên
0,5
Do đó
0.5
+ Với x = 2023 thì không có giá trị của y tự nhiên thỏa mãn.
0.25
+ Với x =2024 thì .
Vậy (x;y) =(2024;4)
0.25
3
4,5
đ
a
1,5
a) Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3. Biết p + 2 cũng là số nguyên tố. Chứng tỏ rằng p + 1 chia hết cho 6.
1,5
Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p lẻ, do đó p + 1 chẵn
=> (p + 1) 2 (1)
0,5
Cũng do p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p = 3k + 1 hoặc p = 3k + 2
(kÎ N)
0,25
Nếu p = 3k + 1 thì p +2 = 3k +3 = 3(k + 1) 3
=> p + 2 không là số nguyên tố nên p = 3k + 1 không xảy ra.
0,25
Do đó p = 3k + 2 => p + 1 = 3k + 3 = 3(k +1) 3 (2)
0,25
Vì (2;3) = 1 nên từ (1) và (2) ta có (p + 1) 6
0,25
b
1,5
b) Tìm số nguyên x để biểu thức sau đạt giá trị lớn nhất, tìm giá trị lớn nhất đó: .
1.5
0.5
Để x-1 >0 và nhỏ nhất (x nguyên)
0.5
0.5
b
1,5
c) Một trường THCS có ba lớp 7, tổng số học sinh hai lớp 7A, 7B là 85 em, Nếu chuyển 10 học sinh từ lớp 7A sang lớp 7C thì số học sinh ba lớp 7A, 7B, 7C tỉ lệ thuận với 7;8;9. Hỏi lúc đầu mỗi lớp có bao nhiêu học sinh?

1,5
Gọi số học sinh của lớp 7A, 7B, 7C lần lượt là x, y, z (học sinh)
(
0,25
Theo bài ra ta có (1)
0.25
Nếu chuyển 10 học sinh từ lớp 7A sang lớp 7C thì số học sinh ba lớp 7A, 7B, 7C tỉ lệ thuận với 7;8;9 nên ta có:
(2)
0,25
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
0,25
Suy ra (Thỏa mãn điều kiện)
Vậy số học sinh của lớp 7A, 7B, 7C lần lượt là 45, 40, 35 học sinh.
0.25
0,25
4
7,0
đ
1. Cho tam giác ABC cân tại A. Trên cạnh BC lấy điểm D, trên tia đối của CB lấy điểm E sao cho BD = CE. Các đường thẳng vuông góc với BC kẻ từ D và E cắt AB và AC lần lượt ở M và N. Chứng minh rằng:
a) BM = CN.
b) BC < MN.
c) Đường thẳng vuông góc với MN tại giao điểm của MN và BC luôn luôn đi qua một điểm cố định khi D thay đổi trên cạnh BC
6,0

a
2,0
Xét ∆MDB và ∆NEC có:
0.5
BD = CE (gt)
0.25
0.75
=>∆MDB = ∆NEC (g.c.g)=> BM = CN (hai cạnh tương ứng)
0.5
b
2.0
Ta có BC=BD+DC; DE=DC+CE, mà BD=CE(gt)
=> BC=DE
1.0
Gọi I là giao điểm của MN và BC ta có DE=DI+IEBC1.0
c
2.0
Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ A xuống BC.
=> AH vừa là đường cao vừa là đường phân giác của tam giác cân ABC.
0,25
Gọi O là giao điểm của AH với đường thẳng vuông góc với MN kẻ từ I.
∆OAB = ∆OAC (c.g.c)
0,25
(cặp góc tương ứng) (*)
OC = OB (cặp cạnh tương ứng) (1)
0,25
∆MDI = ∆NEI (g.c.g)
IM = IN (cặp cạnh tương ứng) (2)
0,25
∆OIM = ∆OIN (c.g.c)
OM = ON (cặp cạnh tương ứng) (3)
0,25
Từ (1), (2) và (3)=> ∆OBM = ∆OCN (c.c.c)
(cặp góc tương ứng) (**)
0,25
Từ (*) và (**) suy ra =900, do đó OC AC.
0,25
=> điểm O cố định. Vậy đường thẳng vuông góc với MN tại giao điểm của MN và BC luôn luôn đi qua một điểm cố định khi D thay đổi trên cạnh BC
0,25
2. Cho tam giác ABC có góc B bằng 450 , góc C bằng 1200. Trên tia đối của tia CB lấy điểm D sao cho CD = 2CB . Tính góc ADB
1.0
2.
1,0 đ
KÎ DH Vu«ng gãc víi AC v×
Từ đó chứng minh được CH = CH = BC
0,5
Tam gi¸c BCH c©n t¹i C
Mµ nªn tam gi¸c AHB c©n t¹i H
Do ®ã tam gi¸c AHD vu«ng c©n t¹i H
VËy ADB = 450+300=750
0,5
Lưu ý:
- Nếu học sinh không vẽ hình bài 4 hoặc vẽ sai thì không chấm bài 4.
- Nếu học sinh làm cách khác đúng thì vẫn cho điểm tương ứng với từng phần.
PHÒNG GD & ĐT THÀNH PHỐ
TRƯỜNG THCS TRẦN LÃM
ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI
NĂM HỌC: 2021- 2022
MÔN : TOÁN 7
Thời gian làm bài : 120 phút ( không kể giao đề)
Bài 1(4,0 điểm)
Cho biểu thức: A = với x
1. Tính giá trị của biểu thức A biết - 2 = -1
2. Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức A có giá trị lớn nhất. Tìm giá trị lớn nhất đó.
Bài 2 ( 4,0 điểm)
1. Tìm x ; y; z thỏa mãn các điều kiện sau:
== và 3x – 2y + 5z = 96
2. Lớp 7A có 52 học sinh chia làm ba tổ. Nếu tổ một bớt đi 1 học sinh, tổ hai bớt đi 2 học sinh, tổ ba thêm vào 3 học sinh thì số học sinh tổ một, hai, ba tỉ lệ nghịch với 3;4;2. Tìm số học sinh của mỗi tổ.
Bài 3(4,0 điểm)
Cho hàm số y = m|x| + 2x ( Với m là hằng số cho trước).
1. Xác định m biết đồ thị hàm số đi qua điểm A( ;1).
2. Vẽ đồ thị hàm số với m vừa tìm được.
Bài 4(6,0 điểm)
Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AB,AC. Kẻ NH vuông góc CM tại H, HE vuông góc AB tại E, AK vuông góc CM tại K, AQ vuông góc HN tại Q.
1. Tính ?
2. Chứng minh tam giác ABH cân.
3. Chứng minh HM là phân giác của.
Bài 5(2,0 điểm)
Từ một điểm I tùy ý trong tam giác ABC kẻ IM, IN, IP lần lượt vuông góc với BC, CA, AB. Chứng minh rằng : AN2 + BP2 + CM2 = AP2 + BM2 + CN2
---------Hết---------
Họ và tên thí sinh.................................................. Số báo danh.......................
PHÒNG GD & ĐT THÀNH PHỐ
TRƯỜNG THCS TRẦN LÃM
BIỂU ĐIỂM CHẤM MÔN: TOÁN 7
HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ
NĂM HỌC : 2021- 2022
Bài 1(4,0 điểm)
Cho biểu thức: A = với x
1. Tính giá trị của biểu thức A biết - 2 = -1
2. Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức A có giá trị lớn nhất. Tìm giá trị lớn nhất đó.
Câu
Đáp án
Điểm
1
- 2 = -1 => = 1

=> x = hoặc x =
Với x = thỏa mãn điều kiện x thay vào biểu thức A tính được A = 2
Với x = thỏa mãn điều kiện xthay vào biểu thức A tính được A =
0,25
0,25
0,75
0,75
2
A= = = +
A lớn nhất khi lớn nhất
lớn nhất khi (2x – 3) là số nguyên dương nhỏ nhất
Vậy 2x – 3 = 1 => x= 2
Thay x=2 vào biểu thức A = = 6
KL : Với giá trị nguyên x= 2 giá trị lớn nhất của biểu thức A bằng 6
0,5
0,25
0,5
0,25
0,25
0,25
Bài 2 ( 4,0 điểm)
1. Tìm x ; y; z thỏa mãn các điều kiện sau:
== và 3x – 2y + 5z = 96
2. Lớp 7A có 52 học sinh chia làm ba tổ. Nếu tổ một bớt đi 1 học sinh, tổ hai bớt đi 2 học sinh, tổ ba thêm vào 3 học sinh thì số học sinh tổ một, hai, ba tỉ lệ nghịch với 3;4;2. Tìm số học sinh của mỗi tổ.
Câu
Đáp án
Điểm
1
=> 6x = 4z, 5z = 6y,4y = 5x
=>
=> x= 12; y= 15; z=18
0,5
0,5
0,25
0,25
0,25
0,25
2
Gọi số học sinh tổ một, tổ hai ,tổ ba của lớp 7A lần lượt là x,y,z
(x,y,z N*; x,y,z < 52)

onthicaptoc.com 10 De thi HSG Toan 7 Cap truong 2022 2023